昌平区2012－2013学年第二学期高三年级第二次质量抽测
数 学 试 卷（文科）
（满分150分，考试时间 120分钟）2013.4
考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 3． 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的
签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要
折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) （1）i是虚数单位，则复数z=2i?1i在复平面内对应的点在
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （2）已知集合A?{x|2?1}，B?{x|x?1}，则A?B?
A. {x|x?1} B. {x|x?0} C. {x|0?x?1} D. {x|x?1} （3）已知命题 p:?x?R，x≥2，那么下列结论正确的是
A. 命题?p:?x?R，x≤2 B．命题?p:?x?R，x?2 C．命题?p:?x?R，x≤?2 D．命题?p:?x?R，x??2
（4） 执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A．102 B．81 C．39 D．21
开始 xn?1,S?0n?4?否 （5）在区间(0,?2)上随机取一个数x，则事件“tanxgcosx?22是 ” S?S?n?3n 输出S 发生的概率为 A.
34 B.
23 C.
12 D.
13
n?n?1 结束 （6）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比
为y，则y?f(x)的图像大致为
- 1 -
A. B. C. D.
（7）已知四棱锥P?ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是
A. 2 B. 3 C. 13 D. 32
3 主视图 侧视图 2 2 3 ?b,(a?b)4(8)定义一种新运算：a?b??已知函数f(x)?(1?)?log2x，若函数
x?a,(a?b)俯视图 g(x)?f(x)?k恰有两个零点，则k的取值范围为
A. ?1,2? B. (1,2) C. (0,2) D. (0,1)
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
一、
填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）在△ABC中，若a?4,b?5,c?61，则?C的大小为_________.
（10）双曲线x?2y2b2?1(b?0)的一条渐近线方程为
0.0640.060频率组距y?3x，则b? . (11) 某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a＝ ；若要从成绩在?85,90? ，?90,95? ，
a0.0200.016?95,100?三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加
O
7580859095100分数- 2 -
面试，则成绩在?95,100?内的学生中，学生甲被选取的概率为 .
（12）设??x?y?0,?x?y?0与抛物线y??4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P(x,y)2为D内的一个动点，则目标函数z?x?2y的最大值为 _ （13）如图，在边长为2的菱形ABCD中，?BAD?60，
?DE????????E为CD的中点，则AE?BD的值为
CAB（14）对于三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，给出定义：
设f'(x)是函数y?f(x)的导数，f''(x)是函数f'(x)的导数，若方程f??(x)?0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y?f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定
321213125 ①函数f(x)?x?x?3x?的对称中心坐标为 _ ；
32121232012 ②计算f()?f()?f()???f()= __ . 2013201320132013
函数f(x)?1x3?1x2?3x?5，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3?S3?9. （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b1?a2,b4?S4，求{bn}的前n项和公式.
（16）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?（Ⅰ）求f()；
3sin(??2x)?2cos2x?1,x?R.
?2（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
- 3 -
（17）（本小题满分14分）
如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是正方形, 侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?PDFECB22AD?2,
E、F分别为PC、BD的中点． (Ⅰ) 求证：EF//平面PAD； (Ⅱ) 求三棱锥P?BCD的体积；
A(Ⅲ) 在线段AB上是否存在点G,使得CD?平面EFG？说明理由.
（18）（本小题满分13分） 已知函数f(x)?12x2?alnx(a?0).
（Ⅰ）若f(x)在x?2处的切线与直线3x?2y?1?0平行，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）求f(x)在区间[1,e]上的最小值.
（19）（本小题满分13分）
已知椭圆
x2a2?y2b2?1(a?b?0)的离心率为
63,且过点(0,1)．
（I）求此椭圆的方程；
（II）已知定点E(?1,0)，直线y?kx?2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
（20）（本小题满分14分） 如果函数y?f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得． f(x?a)?f(?x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”
（I）判断函数y?sinx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”，求出所有a的值；若不具有“P(a)性质”，请说明理由;
（II）设函数y?g(x)具有“P(?1)性质”，且当?11?x?时，g(x)?x．若y?g(x)与22y?mx交点个数为2013个，求m的值．
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