昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测
数 学 试卷 参考答案（文科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 题 号
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）120? （10）3 （11）0.040 ；
（1） （2） C （3） B （4） A （5） C （6） D （7） D （8） B 答案 A 25 （12）3
（13）1 （14）(,1);2012
12
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d. 因为a3?S3?9， 所
以
?a1?2d?9??3a1?3d?9 解得
a1??3d?,............................................................46分
所
以
........................................................?an?3n............................6分 （II）设等比数列{bn}的公比为q
因为b1?a2?(?3)?6?3,b4?S4=-12+36=24, 所以3q?24,解得，q?2. 所
以
3{bn}的前n项和公式为
- 5 -
Tn?
b1(1?qn)1?q?3(2n?1)............................................13分
（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）?f(x)?3sin(??2x)?2cos2x?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x??6)
?????????????????????????????????..4分 ?f()?2sin(????62)?2?12?1??????????????.6分
（Ⅱ）f(x)?2sin(2x? 又由2k???6)的最小正周期T??，??????????8分
?2?2x??6?2k?????2?k???6?x?k???3(k?Z)可得
函数f(x)的单调递增区间为?k??
（17）（本小题满分14分） (Ⅰ)证明：连结AC?BD?F，
?6,k????3??(k?Z).???13分
ABCD为正方形，F为AC中点， E为PC中点.
∴在?CPA中,EF//PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且PA?平面PAD，EF?平面PAD ∴EF//平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (Ⅱ)解：如图,取AD的中点O, 连结OP. ∵PA?PD, ∴PO?AD. ∵侧面PAD?底面ABCD,
PDAOGFECB平面PAD?平面ABCD?AD,
∴PO?平面ABCD.
又PA?PD?且AD?22,PO?22AD?2,所以?PAD是等腰直角三角形，
12AD?2,
12S正方形ABCD?423在正方形 ABCD中，S?BCD? VP?BCD?12?22?22?4
13S?BCD?PO?13?4?2?.?????????????????..9分
- 6 -
(III) 存在点G满足条件，理由如下：设点G为AB中点，连接EG,FG. 由F为BD的中点，所以FG//AD，
由（I）得EF//PA，且FG?EF?F,AD?PA?A, 所以平面EFG//平面PAD.
∵侧面PAD?底面ABCD,平面PAD?平面ABCD?AD, CD?AD，
?CD?平面PAD
所以，CD?平面EFG.
所以，AB的中点G为满足条件的点.??????????????14分
（18）（本小题满分13分）
解：（I）f(x)的定义域为(0,??).f'(x)?x?ax?x2?ax.
由f(x)在x?2处的切线与直线3x?2y?1?0平行，则f'(2)?4?a2?32,a?1.?.4分
此时f(x)?12x?lnx,f'(x)?2x2?1x.令f'(x)?0，得x?1.
f(x)与f?(x)的情况如下：
x f?(x) f(x) （0,1） — ↘ 1 0 (1,??) + ↗ 12 所以，f(x)的单调递减区间是（0,1），单调递增区间是(1,??)?????????7分
(II)由f'(x)?x?ax?x2?ax.
a.
，f(x)在[1,e]上单调递增，0- 7 -
由a?0及定义域为(0,??)，令f'(x)?0,得x?①若
a?1即,0?a?1,(1,e)上，f'(在x?)
f(x)min?f(1)?② 若1?12；
a?e,即1?a?e2,在（1,a)上，f'(x)?0，f(x)单调递减；在（a,e)上，
f'(x)?0，f(x)单调递增，因此在[1,e]上，f(x)min?f(a)?③ 若
12a(1?lna)；
a?e,即a?e2,在(1,e)上，f'(x?)，0f(x)在[1,e]上单调递减，
f(x)min?f(e)?12e2?a.
12;当1?a?e2时，f(x)min?12a(1?lna);当a?e2时，
综上，当0?a?1时，f(x)min?f(x)min?
12e2?a.?????????????????????????..13分
（19）（本小题满分13分）
?c62???a?3a3??2?解：（1）根据题意，?b?1,解得，?b?1.
?2?222a?b?c?c?2???所以椭圆方程为
x23?y21······················ 5分 ?1.
22（II）将y?kx?2代入椭圆方程，得(1?3k)x?12kx?9?0，由直线与椭圆有两个交点，所以??(12k)?36(1?3k)?0，解得k?1. 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，则x1?x2??22212k1?3k2，x1?x2?91?3k2，若以CD为直径的圆过
E点，则EC?ED?0，即(x1?1)(x2?1)?y1y2?0，
而y1y2?(kx1?2)(kx2?2)=kx1x2?2k(x1?x2)?4，所以
2(x1?1)(x2?1)?y1y2?（k?1)x1x2?(2k?1)(x1?x2)?5?，解得k?
29(k2?1)1?3k2?12k(2k?1)1?3k2?5?076,满足k?1.
2 - 8 -
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