2012届高考备考理科数学解答题训练（3）教师版
1.已知△ABC的面积为22，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a?3,b?4,
???????????0?C?90.（Ⅰ）求sin(A?B)的值；（Ⅱ）求cos?2C??的值；（Ⅲ）求向量CB,AC4??????????的数量积CB?AC.
o 2. 2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示： (Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ (Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2
名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数?的分布列及其均值（即数学期望）。
3.如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC?A1B1C1的
侧
面
A1ACC1与底面ABC垂直，
BC?2,A?C23,?A，BAA12?AC12?6.
(Ⅰ) 求侧棱B1B在平面A1ACC1上的正投影的长度． (Ⅱ) 设AC的中点为D，证明A1D?底面ABC； (Ⅲ) 求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值； 第二份
1、已知向量p?(cos2x,a),q?(a,2?3sin2x)，函数f(x)?p?q?5(a?R,a?0) (1) 求函数f(x)在[0，]上的最大值(2) 当a?2时，若对任意的t?R，函数
?????2y?f(x),x?(t,t?b]的图像与直线y??1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值，（不
必证明），并求函数y?f(x)在(0,b]上的单调递增区间。 2、已知数列{an}满足an+1＝2an＋n＋1(n＝1,2,3，…)．
(1) 若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；
(2) 证明{an}不可能是等比数列；
(3) 若a1＝－1，是否存在实数k和b使得数列{ an+kn+b}是等比数列，如存在，求出求{an}的前n项和，若;不存在，说明理由。
3、如图，在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?AC?4,AB?BC?22 (1)求证：平面ABC⊥平面APC(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为
22，求BM的最小值. 3x2y224、 设椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点分别为F1(?1,0)、F2(1,0)，直线l：x?a交x轴
ab 于点A，且AF2?F1F2?0．（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．
???x3?x2?2ax（a?0）． 5、已知函数f(x)?ln?2ax?1??3（1）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；
（2）若y?f(x)在?3,???上不是单调函数，求实数a的取值范围；
?1?x?+b有实根，求实数b的最大值． 1（3）当a??时，方程f?1?x??23x18．解：(1)f(x)?p?q?5 ?acos2x?3asin2x?2a?5
3?2asin(2x??6)?2a?5 2分
???7??1x?[0,]时，2x??[,],sin(2x?)?[?,1] 5分
266662当a?0时， f(x)的最大值为4a?5 6分 同理，当a?0时，f(x)的最大值为a?5 7分
（2）当a?2时，y?f(x)??4sin(2x??6)?1,
由题设及函数y?f(x)的最小正周期为?可知，b的值为?． 9分 ??3??2??2k?,k?Z，得?k??x??k?,k?Z. 11分 由?2k??2x??26263
因为x?[0,?]，所以k?0，
函数y?f(x)在[0,?]上的单调递增区间为[?2?6,3]. 14分
19 （1）a2?2a1?2,a3?2a2?3?4a1?7
?2a2?a1?a3,?a1??3,a2??4?d??1 3分
（2）假设是等比数列，则a22?a1a3
?(2a1?3)2?a1(4a1?7)?a1??4,a2??6,a3??9又a4?2a3?4??14,?a2a4?a3与等比矛盾?假设错误，结论成立2 7分
（3）假设存在，则有an?1?k(n?1)?b?2an?n?1?k(n?1)?b?2an?(k?1)n?k?b?1
an?kn?ban?kn?ban?kn?b?k?1?2k?k?1?常数?????k?b?1?2b?b?2??an?n?2?是等比数列，公比为2 11分 ?an?n?2=（a1?1?2)2n?1?2n?an?2n?n?2 14分 20 解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB
∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC 4分 （2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为
x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 23), 5分 ∴BC?(?2,2,0),PB?(2,0,?23),AP?(0,2,23) 设平面PBC的法向量n1?(x,y,z)， 由BC?n1?0,PB?n1?0得方程组
?A ??2x?2y?0，取n1?(3,3,1) ??2x?23z?0???z P O C y 7分
∴ cos?AP,n1????B 21 7x
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
??21。 9分 7（2）由题意平面PAC的法向量n2?OB?(2,0,0)， 设平面PAM的法向量为n3?(x,y,z),M(m,n,0)
∵AP?(0,1,1),AM?(m,n?1,0)又因为AP?n3?0,AM?n3?0 ∴??y?z?0n?1,?1,1) 10分 取n3?(m?mx?(m?1)y?02(n?1)??22m ?cos?n2,n3???3n?122()?2mn?12∴ ()?16
m∴2n?2?4m 12分
∴B点到AM的最小值为垂直距离d?35?35。 14分 5???????21 解：（1）由题意，|F1F2|?2c?2,?A(a2,0),
?AF1?2AF2 ?F2为AF1的中点
?a2?3,b2?2
x2y2 即：椭圆方程为??1.………………(５分)
322 （2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|?2b?4，此时|MN|?2a?23，四边形DMEN的
a3面积S?|DE|?|MN|?4．同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积
2S?|DE|?|MN|?4． 2当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE:y?k(x?1)，代入消去y??6k2x?x2?,?得：(2?3k2)x2?6k2x?(3k2?6)?0. 设?12?3k2D(x1,y1),E(x2,y2),则?2?xx?3k?6,12?2?3k2?
43?k2?1，所以，所以，|DE|?|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?23k?243(k2?1)， k?1|x1?x2|?22?3k212143[(?)?1]43(?1)2同理……………9分kk|MN|??.132?3(?)22?2kk
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