求?的分布列和数学期望.
3(本小题14分)如图所示的长方体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，
O为AC与BD的交点，BB1?2，M是线段B1D1的中点．
（Ⅰ）求证：BM//平面D1AC；（Ⅱ）求证：D1O?平面ABC1； （Ⅲ）求AB与平面AB1C所成角的余弦值．
4.设数列?an?的前项和为Sn，且Sn?2?第3题图
1，?bn?为等差数列，且a1?b1， 2n?1a2(b2?b1)?a1（Ⅰ）求数列?an?和?bn?通项公式；（Ⅱ）设cn?项和Tn．
bn，求数列?cn?的前nan
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）
?????解: (Ⅰ)OA?n?(cos?,sin??5)， ………………1分
???????又?m?(OA?n)，∴2cos??sin??5?0，即sin??5?2cos?，① …2分
又sin??cos??1 ②
2225③ ……………………………4分 55将③代入①中，得sin?? …………………………5分∴
5????255OA?(,) ……………………………………6分
55??22(Ⅱ) 方法一 ∵sin(??)?,0????，∴cos??，且0??? …7分
221010sin?722?7. 8分 ∴sin??1?cos??，从而tan??cos?1012tan?4?由(Ⅰ)知tan??， tan2??； ……9分
21?tan2?3tan2??tan???1. ………………………10分 ∴tan(2???)?1?tan2?tan?将①代入②中，可得cos??
又∵0????2，∴0?2???， 又0????2，∴0?2????3? …11分 23? ……………………12分 4??22方法二∵sin(??)?,0????，∴cos??，且0??? ……7分
221010722∴sin??1?cos??. ……………8分
10432由(Ⅰ)知cos2??2cos??1?，sin2?? . …………9分
552∴cos(2???)?cos2?cos??sin2?sin??? ……………10分
2?34∵0???，且注意到cos2???0,sin2???0，
255综上可得 2????∴0?2???2，又0????2，∴0?2????? …………………11分
综上可得 2????3? …………………12分 4
（若用sin(2???)?sin2?cos??cos2?sin??2，又∵0?2????? ∴ 22????3?，酌情扣1分.） 417．（本题满分12分）
(Ⅰ)设分数在?70,80?内的频率为x，根据频率分布直方图， 则有(0.01?0.015?2?0.025?0.005)?10?x?1， 可得x?0.3，所以频率分布直方图如右图所示.
……………………………4分
（求解频率3分，画图1分） （Ⅱ）平均分为：
x?45?0.1?55?0.15?65?0.15?75?0.3?85?0.25?95?0.05?71． ………7分 （Ⅲ）学生成绩在?40,60?的有0.25?60?15人，在?60,80?的有0.45?60?27人，
.3?6人.并且?的可能取值是在?80,100?的有0?0,1,2,3,4. …………………………8分
211112C15C15C27C15C18?C27727207则P(??0)?2?；P(??1)?； ； ?P(??2)??22C60118C60118C60590112C18C27C188151；. P(??3)??P(??4)??22C590C6029560所以?的分布列为
? 0 1 2
727207 P
1181185903
81 2954 51 590………………………11分
E??0?7272078151?1??2??3??4??2.1 ………………………12分 11811859029559018．（本题满分14分）
解:（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形， ∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O//BM． ………………………2分 ∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC， ∴BM//平面D1AC．…………… 4分
（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，BB1?2， ∴B1D1?22，OB1?2，D1O?2，
2则OB12?DO． ……………6分 ?B1D12，∴OB1?DO11∵在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AC?BD，
AC?D1D，
∴AC?平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1， ∴AC?D1O，又AC?OB1?O，
∴D1O?平面ABC1． …………………………8分 （Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE?AB1于E，连结EC， ∵CB?AB，CB?BB1，
∴CB?平面ABB1，又AB1?平面ABB1， ……………………………9分 ∴CB?AB1，又BE?AB1，且CB?BE?B，
∴AB1?平面EBC，而EC?平面EBC， ………………………………10分
∴AB1?EC．
∴?BEC是二面角B?AB1?C的平面角． …………………………12分 在Rt?BEC中，BE?23，BC?2 3?∴tan?BEC?3，?BEC?60，
∴二面角B?AB1?C的大小为60． ………………………………………14分 解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接D1O，则点O(1,1,0)、
?D1(0,0,2)， ?????∴OD1?(?1,?1,2)
又点B(2,2,0)，M(1,1,2)，
?????∴BM?(?1,?1,2)
??????????∴OD1?BM，且OD1与BM不共线，
∴OD1//BM．
又D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，
∴BM//平面D1AC． …………………………………4分
??????????????????（Ⅱ）∵OD1?OB1?(?1,?1,2)?(1,1,2)?0，OD1?AC?(?1,?1,2)?(?2,2,0)?0 ??????????????????∴OD1?OB1，OD1?AC，即OD1?OB1，OD1?AC，
又OB1?AC?O，∴D1O?平面ABC1． …………………………………………8分 （Ⅲ）∵CB?AB，CB?BB1，∴CB?平面ABB1，
????∴BC?(?2,0,0)为平面ABB1的法向量．
??????????????????∵OD1?OB1，OD1?AC，
?????∴OD1?(?1,?1,2)为平面ABC1的法向量．
?????????1∴cos?BC,OD1??，
2???????????∴BC与OD1的夹角为60，即二面角B?AB1?C的大小为60． ………14分
（Ⅲ）（法三）设二面角B?AB1?C的大小为?，?AB1C在平面AB1B内的射影就是
?AB1B，根据射影面积公式可得cos??S?AB1C?S?AB1BS?AB1C，S?AB1B?1?AB?B1B?2，21?AC?B1O?22 2S?AB1B21??，∴二面角B?AB1?C的大小为60? ………14分 ∴cos??S?AB1C222
18.解：（1）a1?1………1分
n?2,an?(2?12)?(2?n?12)?n?2112n?1，………3分
n?1时也成立．
1?an?n?1………4分
2?b1?a1?1,b2?b1?a11??2,?d?2 a212?bn?1?(n?1)?2?2n?1………7分
（2）cn?2n?1?(2n?1)?2n?1………8分 12n?1
Tn?1?1?3?2?5?22???(2n?1)?2n?12Tn?1?2?3?2?5?2???(2n?3)?223n?1?(2n?1)?2n?Tn?1?2(2?22???2n?1)?(2n?1)?2n2(1?2n?1)?1?2?(2n?1)?2n1?2?1?2n?1?4?(2n?1)?2n??3?(2n?3)?2n
?Tn?3?(2n?3)?2n………14分
相关推荐：
loading