高等代数北大版习题参考答案

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对应的特征向量为

将其正交单位化，可得标准正交基为

故所求正交矩阵为

??221??1?????1' T???1?22?且TAT??4?。

3??12??2??2???2）由

2????2?2??2?E?A??2??54?????1????10?，

?24??5???可得

A的特征值为?1??2?1,?3?10。

?3?10的特征向量为

?1??2?1的特征向量为

正交化，可得

?24? ?1???1,?2,2?,?2???2,1,0?,?3??,,1?，

?55?再单位化，有:?1?1??1,?2,2?,?2?1??2,1,0?,?3?1?2,4,5?， 3535于是所求正交矩阵为

?1???3?2 T???3??2?3??210552??35??10???4?1?。 ?且T'AT??35???1??5??35?0?4?1???????1?4??0????5????5????3????3?， 3）由?E?A????4?1?0????1?40????可得

A的特征值为?1?5,?2??5,?3?3,?4??3，

相应的特征向量为

?1??1,1,1,1?,?2??1,1,?1,?1?，

?3???1,1,?1,1?,?4??1,?1,?1,1?，

将其正交单位化，可得标准正交基为

?1?1?1,1,1,1?,?2?1?1,1,?1,?1?， 221??1,1,?1,1?,?4??1,?1,?1,1?， 2 ?3?故所求正交矩阵为

?1,1,?1,1??5?????1,?1??51?1,1,??'TAT? T??且。 ???321,?1,?1,?1?????1,?1,1,??1??3????????13?33?4）由?E?A??3??13?3???????4?3???8?， ??33??13????3?33??1??可得A的特征值为?1?8,?2??3??4??4。

相应的特征向量为

?1???1,1,?1,1?,?2??1,1,0,0?，

?3??1,0,?1,0?,?4??1,0,0,1?，

正交化后得

?1???1,1,?11?,?2??1,1,0,0?，

??13???1?2,2,1,0???,???14??3,?113,3,???，1 再单位化，可得

?1 ?1????2,12,?12,1??1,?,?2??2??21?,0,0?， 2??1 ?3??,??6?16,2??11,0?,,???,?,?4?623??23123,3???， 23?故所求正交矩阵为

?1???2?1?2T? ???1?2?1??2121200?1166260??23??8?1??????4?23且 T'AT?????。 1??4???23??4???3??23?1?1?1????1?1???1??1?1?1????3???4?， 5）由?E?A????1?1??1?1????1?1?1??1???可得A的特征值为?1?4,?2??3??4?0。

相应的特征向量为

?1??1,1,1,1?,?2???1,1,0,0?，

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