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∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm， ∴ BD=
（Ⅱ）如图所示，
=
cm；
∵ 三个正方形的边长均为5，
∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上， ∴ OA=
=5
cm，
cm；
∴ 能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，
∵ CE⊥AB，AC=BC，
∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径， ∵ OA=OB=OD， ∴ O为圆心，
∴ ⊙O的半径为OA，
OA=
=5
cm，
×2=10
cm；
∴ 能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5
（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，
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设OG=x，则OP=10-x， 则有：解得：则ON=∴直径为
． ，
，
，
【总结升华】
此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．
举一反三：
【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ． （2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
【答案】
解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴∠BAM=∠CBN， 又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°； 同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°． （2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n中，
4．如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．
．
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【思路点拨】
观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积. 【答案】
25?； 6【解析】
连接OC、OD、CD．
∵ C、D为半圆的三等分点， ∴ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝
180°?60°． 3 又∵ OC＝OD，
∴ ∠OCD＝∠ODC＝60°，∴ DC∥AB， ∴ S△PCD?S△OCD，
∴ S阴影?S扇形OCD答案：
60?5225???．
360625?． 6【总结升华】
用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．
类型四、与圆有关的综合应用
5．（2014?黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC． （1）求证：AB=AC； （2）若sin∠BAC=
3，求tan∠PCB的值． 5
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【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论． （2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出根据AB=AC，得出tan∠CBE==
=，就可求得tan∠PCB=．
=，从而求得
=，
【答案与解析】 解：（1）连接AD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴AD⊥BC，
∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCB=∠CAD， ∵∠PCB=∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， 在△ADC和△ADB中，
，
∴△ADC≌△ADB（ASA）， ∴AB=AC．
（2）作BE⊥AC于E， ∵PC是⊙O的切线， ∴AC⊥PC， ∴BE∥PC，
∴∠PCB=∠CBE， ∵sin∠BAC==，
∴
=，
∵AB=AC， ∴tan∠CBE=
=
=，
∴tan∠PCB=．
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【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 举一反三：
【圆的综合复习 例2】
【变式】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．
(1)判断△DCE的形状并说明理由； (2)设⊙O的半径为1，且OF?3?1，求证△DCE≌△OCB． 2
【答案】
(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．
又∵OA=OC,∴△AOC是正三角形．又∵CD是切线，∴∠OCD=90°， ∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．
而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形． (2)证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=22?12=3．OF=
3?13?1,∴AF=AO+OF=． 22又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC．
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE≌△COB.
6．如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙ O相切于点A，P为⊙ O上一动点（与点A、点
B不重合），PO的延长线与⊙ O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D． （1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．
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