所以
f?x?在???,0?和?0,???单调递增， x因为b?a?0，所以
f?a?f?b??,因abab?0,所以在不等式两边同时乘以ab，
得①正确，②、③、④错误.
【点睛】本题考查构造函数、由导函数的正负判断函数的单调性，属于难度题.
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 21.已知函数f?x??13x?x2?mx?m?0?. 3（1）m?1时，求在点P1,f?1?处
??函数f?x?切线l方程；
（2）m?8时，讨论函数f?x?的单调区间和极值点．
【答案】（1）6x?3y?1?0（2）f?x?的减区间是???,?2?和?4,???，增区间是??2,4?；x??2为f?x?的极小值点，x?4为f?x?的极大值点 【解析】 【分析】
(1)根据函数求导法则求出f'?1?得切线的斜率，得切线的方程；
(2）对函数求导研究导函数的正负，得到函数的单调区间和极值. 【详解】解：（1）∵m?1时，f?x???∴f'?x???x?2x?1，
2∴f?1??5，f'?1??2， 3的13x?x2?x, 3 ∴在点P1,f?1?处的切线l：y?即l：6x?3y?1?0. （未化成一般式扣1分） （2）∵m?8时，f?x?????5?2?x?1?， 313x?x2?8x， 3
∴f'?x???x?2x?8，
2∴其??36?0，
由f'?x??0解得x1??2，x2?4，
当x??2或x?4时f'?x??0，当?2?x?4时f'?x??0， ∴f?x?在???,?2?和?4,???上单减，在??2,4?上单增，
x??2为f?x?的极小值点，x?4为f?x?的极大值点.
综上，f?x?的减区间是???,?2?和?4,???，增区间是??2,4?；
x??2为f?x?的极小值点，x?4为f?x?的极大值点.
【点睛】本题考查导函数的几何意义求切线方程，求导得单调性及极值，属于中档题.
31??22.已知?x?3??x?0,n?N*,n?2?的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为． 43x??（1）求n；
（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是x的指数为整数的项）． 【答案】（1）n?6（2）有理项是展开式的第1，3，5，7项，详见解析 【解析】 【分析】
根据二项式展开式的通项公式中的二项式系数求出n，再由通项求出有理项.
nn?n?1?2Cn2?1【详解】解：（1）由题设知3? Cnn?n?1??n?2?3?2?1?33?， n?24解得n?6. （2）∵n?6，
r∴展开式通项Tr?1?C6?x?6?r7r?1?C63?2r， ?3??rx3?3x?r∵0?r?6且r?N，
∴只有r?0,2,4,6时，Tr?1为有理项， ∴有理项是展开式的第1，3，5，7项.
【点睛】本题考查二项式的展开式的特定项系数和特定项，属于中档题.
23.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止．
（1）求取球次数X的分布列； （2）求取球次数X的期望和方差． 【答案】（1）见解析（2）EX?2，DX?1 【解析】 【分析】
根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列、期望和方差. 【详解】解：（1）由题设知，X?1,2,3,4，
2P?X?1??
5323P?X?2????
54103221P?X?3?????
54353211P?X?4?????
54310则X的分布列为
X P
（2）则取球次数X1 2 3 4 2 53 101 51 10期望
2311EX?1??2??3??4??2，
51051023112222DX?1?2??2?2??3?2??4?2??1. 的方差????????X510510【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.
24.某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n株作为样本进行研究。株高在35cm及以下为不良，株高在35cm到75cm之间为正常，株高在75cm及以上为优等。下面是这n个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁。请根据可见部分，解答下面的问题：
（1）求n的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；
（2）通过频率分布直方图估计这n株株高的中位数（结果保留整数）；
（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X的分布列（用最简分数表示）．
【答案】（1）n?20，补图见解析（2）估计这n株株高的中位数为82（3）见解析 【解析】 【分析】
根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列。 【详解】解：（1）由第一组知
1?0.0025，得n?20， 20n补全后的频率分布直方图如图
（2）设中位数为x0，
前三组的频率之和为0.05?0.1?0.2?0.35?0.5， 前四组频率之和为0.05?0.1?0.2?0.45?0.8?0.5， ∴x0??75,95?，
∴?x0?75??0.0225?0.15， 得x0?245?82， 3∴估计这n株株高的中位数为82.
（3）由题设知X:B?2,490?7?则P?X?0??C2 ?????20?4001P?X?1??C2??13?169 P?X?2??C?????20?40022X的分布列为
X P 的??13??， 20?271391?? 202020020 1 2 49 40091 200169 400【点睛】本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.
25.函数f?x??1?x?lnx?a?0,e?2.71828?. ax（1）若函数f?x?在1,???上为增函数，求实数a的取值范围； （2）求证：n?N，n?2时，n?e2?3?4?????n. 【答案】（1）1,???（2）见解析 【解析】 【分析】
(1)利用函数在区间单调递增，则其导函数在此区间大于等于零恒成立可得；
(2)由第（1）问的结论，取a?1 时构造函数，得其单调性，从而不等式左右累加可得.
1111??
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