广东省珠海市2018-2019学年高二下学期期末学业质量监测数学(理)试题 含解析

【详解】（1）解：∵f?x??1?x?lnx，x?0， ax

∴

f'?x??x?x21a，

∵f?x?在1,???上为增函数， ?∴

f'?x??x?x1a?0在?1,???上恒成立， 21在?1,???上恒成立， x1∵0??1，

x即a?∴a?1，

∴a的取值范围是1,???.

（2）证明：由（1）知a?1时，f?x??∴令x??1?x?lnx在?1,???上为增函数， xn，其中n?N，n?2， n?1则x?1， 则f?x??f??n???f?1?， n?1??nn?1?lnn??1?lnn?0， 即

nn?1nn?1n?11即lnn?ln?n?1??，

n1∴ln2?ln1?

21ln3?ln2?

31ln4?ln3?

41?……

1， n1111∴累加得lnn????????，

234nlnn?ln?n?1??∴n?elnn?e2?3?4?????n.

1111

【点睛】本题关键在于构造出所需函数，得其单调性，累加可得，属于难度题。