同济大学(高等数学)_第四章_不定积分之欧阳文创编

欧阳文创编

第四章 不定积分

时间：2021.03.12 创作：欧阳文 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．

第1节 不定积分的概念与性质

1.1 不定积分的概念

在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为

s?s(t)， 则质点在时刻t的瞬时速度表示为

v?s?(t)．

实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度

v?v(t)，

求出质点的位移函数

s?s(t)．

即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．

1.1.1原函数

定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx， 那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数．

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例如，在变速直线运动中，s?(t)?v(t)，所以位移函数s(t)是速度函数v(t)的原函数；

再如，(sinx)'?cosx，所以sinx是cosx在(??,??)上的一个原函数．(lnx)'?x1(x?0),所以lnx是

1x在(0,??)的一个原函数．

一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．

定理1如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数F(x)，使对任一x?I都有 F?(x)?f(x)．

简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．

定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

若F?(x)?f(x)，则对于任意常数C，F(x)?C都是f(x)的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．

假设F(x)和?(x)都是

f(x)的原函数，则[F(x)??(x)]??0，必有

F(x)??(x)?C,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常

数．

因此我们有如下的定理：

定理2若F(x)和?(x)都是f(x)的原函数，则F(x)??(x)?C（C为任意常数）．

若F?(x)?f(x)，则F(x)?C（C为任意常数）表示f(x)的所有原函

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数．我们称集合?F(x)?C|???C????为f(x)的原函数族．由此，我们引入下面的定义．

1.1.2不定积分

定义2在区间I上，函数f(x)的所有原函数的全体，称为

f(x)在I上的不定积分， 记作

?f(x)dx．

其中?称为积分号，f(x)称为被积函数，式，x称为积分变量．

由此定义，若F(x)是f(x)的在区间I上的一个原函数，则f(x)的不定积分可表示为

f(x)dx称为被积表达

?f(x)dx?F(x)?C．

注（1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．

（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作

为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C．

例1求?3x2dx．

解因为(x)??3x,所以?3x2dx?x3?C．

32例2求?sinxcosxdx． 解（1）因为(sin（

2

22x)??2sinxcosx,所以sinxcosxdx??12sinx?C2．

以

）因为

(cos2x)???2cosxsinx,所

?sinxcosxdx??2cos1x?C．

（3）因为(cos2x)???2sin2x??4sinxcosx,所以

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