6．1 平面向量及其线性运算
6．1.1 向量的概念
考点 向量的概念 共线向量、相等向量 向量与几何的关系 学习目标 理解向量的有关概念及向量的几何表示 理解共线向量、相等向量的概念 正确区分向量平行与直线平行 核心素养 数学抽象 数学抽象 直观想象
问题导学
预习教材P133－P136的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？怎样表示向量？ 2．向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量能比较大小吗？
1．位移与向量 (1)向量的概念
一般地，像位移这样既有大小又有 方向的量称为向量(也称为矢量)．
向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量． (2)向量的表示方法
→→
①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为AB，此时向量AB的模→
用|AB|表示．除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭→→→
头的小写字母如a，b，c等来表示向量．
②始点和终点相同的向量称为零向量．零向量的模为0．零向量的方向是不确定．模不为0的向量通常称为非零向量．模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
■名师点拨
向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．向量的相等与平行
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．
如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作 a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线．
■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量没有方向．( )
→→
(2)向量AB的长度和向量BA的模相等．( ) (3)单位向量都平行．( ) (4)零向量与任意向量都平行．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量． 关于零向量，下列说法中错误的是( ) A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0 C．零向量只与零向量相等 D．零向量的方向是任意的 答案：A
如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
→→→→①AD与BC；②OB与OD； →→→→③AC与BD；④AO与OC. 答案：①④
向量的有关概念
判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
(1)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． (2)共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． ②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． ③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； →→
④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 解析：①错误．若b＝0，则①不成立． ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同．
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