f?n?1??x??f?f?n??x?? ?? ?f?nq? x
?q ?q?q? x
nn?1x ．
所以，由数学归纳法知，f?n??x??qnx对所有的自然数n都成立．
例14
f?x??x2，求f?n??x?．
222 解：由定义， f ff?x??x2，
x?，
22?2?f??x??f??x???x??f??x?3??x??2??f?fx??????fx2n??22?x23，
一般地，可猜得，f?n??x??xx ???
．
假定上式成立，则有 f?n?1??x??f??2n?1??f?n ?f ?x由数学归纳法知，f
??x2n ．
2n?n??x??x对所有自然数n都成立．
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3.5 在几何中的应用
例15
Ａ、一条直线被它的n个点分成几个部分？
解：用F1n表示所分部分的个数，显然有F1n?n?1．
Ｂ、一个平面被它上面的n条直线分成多少个部分？（这里每两条直线相交，但每 三条直线没有交点，即n条斜交直线）
解：1、一条直线将平面分成两个部分．
2、假设我们已经知道n条斜交直线将平面分成F2n个部分，进而考虑，n＋1条斜交直线的情况．原先的n条将平面划分成F2n个部分；第n＋1条直线l，根据假设，与其余n条直线相交于n个不同的点，这些交点将直线l划分为n＋1个部分（见Ａ）．则直线l切割平面上原有的n＋1个部分，因此在原有的基础上又增加了
F1n＝n＋1个．所以，F2n?1＝F2n＋F1n＝F2n＋n＋1．
??????????????????我们用数n－1，n－2，?，2，1代替等式中的n，得到：
F2n＝F2n?1＋n，
????F2?n?1?＝F2?n?2?＋n－1， ??? ? ?
F23＝F22＋3，
??F2?2?＝F2?1?＋2． ??将以上等式相加，因为F21＝2，我们有，
F2n＝F21＋［n＋（n－1）＋?＋2］
???? ＝1＋［n＋（n－1）＋?＋2＋1］ ＝1＋
n?n?1? 2ｎ2+ｎ+２ ＝２．
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Ｃ、空间被n个平面（这些平面每三个相交于一点，但每四个没有交点，即n各斜交平面）划分成多少个部分？
解：1、一个平面将空间分成两个部分．
??n＋1个斜交平面的情形．原先的n个平面将空间划分为F3?n?个部分，这n个平 面
2、假设我们已经知道空间被n个斜交平面划分成F3n个部分，然后考虑 与第n＋1个平面?相交于n条斜交线，因此将它划分为F2Ｂ）．因此，我们得到以下关系：
F3n?1＝F3n＋F2??2ｎ+ｎ+２n＝个部分（见２??????２ｎ＋ｎ＋２n＝F3n＋ ２??我们用n－1，n－2，?，2，1代替n，有：
F3n＝F3n?1＋
??????n?1?2+?n?1?+２２
?n?2?2+?n?2?+２F3n?1＝F3n?2＋ ２???? ? ?
２２+２+２F33＝F32＋ ２????F32＝F3???1?２１＋１＋２＋ ２将这些等式相加，得：
２＋?＋２］＋ ２＋F3n＝F31＋1［（ｎ－２）（ｎ－１）１????2
11［（n－1）＋（n－2）＋?＋1］＋??2ｎ? 22n?n?1?n?n?1??2n?1? ＝2＋＋４＋n－1 12?n?1? ＝
?n2?n?6６?．
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3.6 在排列、组合中的应用
由于数学归纳法可以解决有关自然数的问题，而排列组合与自然数密切相关，所以，在排列组合的许多结论，都可以用数学归纳法来证明．比如教材中出现的排列数公式、组合数公式、自然数n的阶乘公式，二项式定理等重要公式，都能用数学归纳法加以证明．下面我们举一个简单的例子．
例16 证明：n个元素的全排列的种数可以按下列公式求得：
Pn ＝1?2?3???n?n! （n是自然数）．
证明：1、对于n＝1，上式显然是正确的，P1?1?1!． 2、假设对于n＝k时，它是正确的，即Pk?k!．
当n=k+1时，假定我们已经组成了k个元素的一切可能的全排列，它们的种数是Pk种，在每一种k个元素的全排列中，我们加入第k＋1个元素，则第k＋1个元素的放法有 k＋1种，由分步计数原理，可得：k＋1个元素的全排列数Pk?1＝
Pk??k?1??k!??k?1???k?1?!．
从而，当n＝ｋ＋1时上式也正确．因此，对一切自然数n它都正确，命题证明完毕．
3.7 在数列中的应用
数列是中学数学的一个重要内容，其中等差数列、等比数列尤为重要，它与高中数学中的很多知识都有联系，作为解决整数问题的数学归纳法，同样可以用来解决一些有关数列的知识．如等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式的证明都需要用数学归纳法，下面我们看几个例子．
例17 试证明：等比数列｛an｝的通项公式为an＝a1qn?1．（其中a1是数列的首项，
q为公比）
0aqa证明：1、当n＝1时，等式成立，因1＝1＝a1．
2、假设，对于n＝k它能成立：ak?a1qk?1．
当n=k+1时，由等比数列的定义可得，
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