应用运算性质改变运算的顺序，可以使某些运算简便。 2、把已知数凑成整十、整百??的数
应用和、差、积、商的变化规律，把已知数转化为整十、整百、整千、……的数，可以使某些运算简便。 3、应用数的分解的方法
有些题目，可以把已知数适当进行分解，使之便于口算，然后应用基本口算和某些运算性质，使运算简便。
小结
1、运算顺序（没有括号的算式里；含有括号的算式里）；
2、估算；估算的方法（根据最高位数字和最低位数字估算；根据数据的部分高位数字估算；利用四舍五入法进行估算；利用基本口算进行估算）；
3、简便计算（改变运算顺序；把已知数凑成整十、整百、整千、…的数；应用数的分解的方法）。 作业：
复习引入:
1、四则运算的顺序?
2、什么是估算？估算的方法是什么？ 3、简便计算的方法是什么？
§1.5 整数四则应用题
一、 四则应用题的概念
1、根据日常生活和生产中的实际问题，用文字、语言、图形叙述出一些已知数和未知数量，以及它们之间的关系，运用四则运算求出未知数量的数学题，叫做四则应用题。 2、四则运算式题与四则应用题的区别
四则运算式题 四则应用题
已知数
标明了运算的方 没有标明什么运 法和运算的顺序 算和运算的顺序
求出答案 掌握四则运算的技能，四则
运算的意义和应用，解答应用题的思路和步骤。
解答应用题 理解和熟悉问题的事理 分析问题
转化成数学运算 确定出运算顺序 列式求出答案 3、四则应用题的组成
⑴已知条件是必要且充分时，就有一个确定的答案。 ⑵当已知条件不充分时，就没有确定的答案。
⑶当已知条件过剩时，如果这些条件不矛盾，应有确定的答案；如果条件之间有矛盾，就得不到答案。
二、解答应用题的一般步骤
理解题意 ：在理解应用题实际内容的基础上弄清已知条件和要解答的问题（前提出发点） 分析：分析题中已知条件和要解答的问题之间的数量关系找出解答途径实际问题转化成数学
问题确定运算方法运算顺序（关键）
列式计算 ：确定每一步用什么方法算列出算式并算出结果（具体实施） 检验作答：检验解答过程是否合理计算是否正确结果与原题中的条件是否符合最后写出答案（最后落实）
只有一步计算来解答的应用题，叫做简单应用题。 用两步或两步以上计算来解答的应用题，叫做复合应用题。 三、简单应用题
构成：两个已知条件、一个问题
解题思路：事物之间的数量关系与四则运算的意义联系起来，转化成一种运算，列式算出答
案
1、直接根据运算的意义列式解答的简单应用题
通过分析数量关系可知，下面的应用题都可以直接与某一种运算的意义联系起来，根据运算的意义列出算式来解答，实际就是运算意义的直接应用。
2、通过转化归结成四则运算的意义相同的数量关系，再根据运算的意义列式解答的简单应用题。
下面的应用题虽然不能直接根据运算的意义列式解答，但是通过数量关系的分析，仍然可以把它们归结成与上面的例题相同的数量关系，再根据运算的意义列式解答。 这样的应用题主要是反映两个数量之间的比较关系的（相差关系与倍数关系）。 小结
1、四则应用题；
2、解答应用题的一般步骤（理解题意、分析、列式计算、检验作答）；
3、简单应用题；复合应用题；简单应用题的结构及解题思路；简单应用题的两种情况。
第二章 整数的性质
第一节 数的整除性
一、 整除的概念
1.整除的概念
[定义] 对于整数a和自然数b ，如果存在一个整数q，使得等式a=bq成立，我们就说b整除a或a被b整除。记作：b|a.此时, a叫做b的倍数，b叫做a的约数(有时也叫做a的因数）。
2、特殊情况
①零可以被任何自然数整除，所以零是任何自然数的倍数，任何自然数都是零的约数。 ①零可以被任何自然数整除，所以零是任何自然数的倍数，任何自然数都是零的约数。 ③因为自然数a的约数总不大于a，a的约数的个数就不多于a，所以自然数a的约数集合是有限集合。
④因为自然数集合是无限集合，所以一个自然数的倍数集合也是无限集合。
⑤如果整数a不能被自然数b整除，记作 b a ，就表示a不是b的倍数，或者b不是a的约数。
二、 数的整除性定理 1、和、差的整除性定理
[定理1] 如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和(或差)也能被这个自然数整除。 如果
b|a1 b|a2, 那么 b|?a1?a2?
如果两个数都是同一个自然数的倍数，那么它们的和（或差）也是这个自然数的倍数。 [推论] 如果若干个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除。 如果
b|a1 、b|?a1?a2???b|an那么b|(a1?a2???an)。
da, 那么d|(a?b)的充要条件是db[定理2] 如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和(或差)能被这个自然数整除的充要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。
b, 并且如果两个数是a、。
2、积的整除性定理
[定理3] 如果一个自然数a能整除自然数b，b又能整除整数c，那么a也能整除c。 （整除的传递性） 如果ab，bc，那么ac。
如果一个自然数b是另一个自然数a的倍数，那么自然数b的倍数c也是自然数a的倍数。 [定理4] 若干个数相乘，如果其中的一个因数能被某一个自然数整除，那么它们的积也能被这个自然数整除。
如果b|a1，那么b|a1a2?an。
3、有余数除法的整除性定理
[定理5] 在有余数的除法里，如果被除数和除数能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。
如果a?b?q??r 且d|a、d|b，那么d|r
在有余数的除法里，如果被除数和除数是同一个自然数的倍数，那么余数也是这个自然数的倍数。
[定理6]在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。
如果 a?b?q??r且d|b、d|r，那么d|r
在有余数的除法里，如果除数和余数是同一个自然数的倍数，那么被除数也是这个自然数的倍数。
三、 数的整除特征
如果具有某个条件的数，都能被自然数b整除，反过来，能被b整除的数，都具有这个条件，那么这个条件就叫做能被b整除的数的特征。这就是说：一个数能被b整除的特征就
是这个数能被b整除的充要条件。
1.能被2或5，4或25，8或125整除的数的特征
⑴能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。 证明：设整数N从个位起各位上的数字为a0,?,an
N?an?10n???a1?10?a0?(an?10n?1???a1)?10?a0
其中(an?10n?1???a1)?10能被2整除，
又能被5整除，那么根据定理2，如果a0，也是N的末一位数能被2或5整除，N就能被2或5整除。
⑵能被4或25整除的数的特征是：这个数的末两位数能被4或25整除。 证明：设整数N从个位起各位上的数字为a0,?,an
N?an?10n???a2?102?a1?10?a0?(an?10n?2???a2)?10?(a1?10?a0)2
其中(an?10n?2???a2)?102能被4或25整除，那么根据定理2，如果a1?10?a0 也就是N的末两位数能被4或25整除，N就能被4或25整除。
⑶能被8或125整除的数的特征是：这个数的末三位数能被8或125整除。 2、能被9或3整除的数的特征
这个数的各数位上的数的和能被9或3整除。
证明：设整数N从个位起各位上的数字为a0,?,an
N?an?10n???a1?10?a0
?[an?(10n?1)???a1(10?1)]
?(an???a0)i个9???i∵10?1?99?9
?i?n,n?1,?,2,1?
∴
10i?1 能被3或9整除，那么，根据定理2，
如果an???a0，也就是N的各数位上的数字
和能被3或9整除，N就能被3或9整除。 3、能被7、11或13整除的数的特征
这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差（或反过来）能被7、11或13整除。
奇偶位差法：一个数能被11整除的充要条件是：它的奇位上的数的和与偶位上的数的和之差（或反过来）能被11整除。
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