2020全国高考数学专题测试
专题 一 不等式推理与证明算法初步与复数
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2018·南昌摸底)已知复数z满足(1＋i)z＝2，i是虚数单位，则复数z的虚部为( )
A．1 B．－1 C．i D．－i 答案 B 解析 因为z＝
22?1－i?2?1－i?＝＝＝1－i，则复数z的虚部为－1，故选B. 1＋i?1＋i??1－i?2
4＋3i
2．(2018·太原三模)已知复数z满足iz＝，则复数z在复平面内对应的点在
1＋2i( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 C
4＋3i4＋3i?4＋3i??－2－i?－5－10i
解析 z＝＝＝＝＝－1－2i，所以复数z在复
?1＋2i?i－2＋i?－2＋i??－2－i?5平面内对应的点在第三象限，故选C.
3．(2018·大庆质检一)若m>n>0，p
解析 由m>n>0，p
4．(2018·青岛质检)已知复数z的共轭复数为z，且z＋z(1＋i)＝3－4i，则在复平面内，复数z所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R，故z＋z(1＋i)＝a＋bi＋(a－bi)(1＋i)＝(2a＋b)＋ai＝3－4i，则a＝－4，b＝11，故z＝－4＋11i，则在复平面内，复数z所对应的点为(－4，
mnqpmnpqmnqpmnpqnmpqmmnnpqpqnmpqmnpq11)，位于第二象限．故选B.
5．观察(x)′＝2x，(x)′＝4x，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 答案 D
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
2
4
3
x≥0，??
6．(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件?x＋y－3≥0，
??x－2y≤0，
则z＝x＋2y的取值范围是( ) A．[0，6] B．[0，4] C．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 答案 D
解析
1
不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y＝－x，当直线过点A(2，1)时，z有最
2小值4.显然z没有最大值．故选D.
7．(2018·长春质检)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( ) 111A.＋有最大值4 B.ab有最小值 ab2C.a＋b有最大值2 D．a＋b有最小值答案 C
解析 由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，
2
2
2
2
1111a＋b111222
∴ab≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a＋b＝(a＋b)－2ab24abababab112
＝1－2ab≥1－＝，(a＋b)＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b有最大
22值2.故选C.
8．(2018·福建质检)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起到了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为( )
A．120 B．84 C．56 D．28 答案 B
解析 第一次循环，i＝0＋1＝1，n＝0＋1＝1，S＝0＋1＝1；i<7，第二次循环，i＝1＋1＝2，n＝1＋2＝3，S＝1＋3＝4；i<7，第三次循环，i＝2＋1＝3，n＝3＋3＝6，S＝4＋6＝10；i<7，第四次循环，i＝3＋1＝4，n＝6＋4＝10，S＝10＋10＝20；i<7，第五次循环，
i＝4＋1＝5，n＝10＋5＝15，S＝20＋15＝35；i<7，第六次循环，i＝5＋1＝6，n＝15＋6
＝21，S＝35＋21＝56；i<7，第七次循环，i＝6＋1＝7，n＝21＋7＝28，S＝56＋28＝84；i＝7，结束循环，输出S＝84.故选B.
9．(2018·湖北武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案 B
解析 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
x≥2，??
10．(2018·山东滨州模拟)已知变量x，y满足约束条件?3x－y≥1，
??y≥x＋1，by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为( )
111
A．1 B. C. D. 246答案 D
若z＝ax＋
解析
作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)，故当x，y均取最小值时，z取到最小值．即当x＝2，y＝3时，z＝ax＋by取得最小值2，即2a＋3b＝2，?2a＋3b?11
所以2a·3b≤＝1，当且仅当2a＝3b＝1，即a＝，b＝时等号成立，所以(6ab)max
4231
＝1，即(ab)max＝. 6
11．(2018·河南郑州三模)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
2
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，
以此类推，例如6613用算筹表示就是：则5288用算筹式可表示为( )
，
答案 C
解析 由题意可知，5288用算筹式表示，从左到右依次是横式5，纵式2，横式8，纵式8.故选C.
11416
12．(2019·邯郸调研)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
aba－1b－1A．16 B．25 C．36 D．49 答案 A
114164?b－1?＋16?a－1?
解析 因为a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝aba－1b－1?a－1??b－1?4b＋16a－20?11??b4a?＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)·?＋?＝20＋4?＋?
ab－?a＋b?＋1?ab??ab?≥20＋4×2 ＋
b4ab4a1134
·＝36，当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．所以ababab2a－1
16
≥36－20＝16. b－1
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
a－i
13．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
2＋i
答案 －2
a－i?a－i??2－i?2a－1－?a＋2?ia＋2
解析 因为＝＝为实数，所以－＝0，解得a＝－
2＋i?2＋i??2－i?55
2.
14．(2018·长春质检二)更相减损术是出自《九章算术》的一种算法，如图所示的程序框图是依据更相减损术写出来的，若输入a＝91，b＝39，则输出a的值为________．
答案 13
解析 第一次循环得：a＝91－39＝52；第二次循环得：a＝52－39＝13；第三次循环得：
b＝39－13＝26；第四次循环得：b＝26－13＝13，此时a＝b，所以输出13.
12x－x15．(2018·大庆质检一)若f(x)＝eln a＋eln b为奇函数，则＋的最小值为
ab________．
答案 22
解析 由f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则有f(0)＝ln a＋ln b＝0，即ab＝121.从而＋≥2ab122
＝22，当且仅当＝，即a＝，b＝2时，取等号． abab2
2
x＋y－1≥0，??
16．(2018·豫南九校联考)已知不等式组?x－y＋1≥0，
??2x－y－2≤0
表示的平面区域为D，若
对任意的(x，y)∈D，不等式t－4 答案 (3，5) 解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可求得A(3，4)，B(0，1)， C(1，0)．设z＝x－2y＋6，平移直线y＝x，可知z＝x－2y＋6在A(3，4)处取得最小值1， ??t－4<1， 在C(1，0)处取得最大值7，所以? ?t＋4>7，? 1 2 解得3 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2 的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2. 1－i 解 由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝， 1＋i1－i?1－i?即z1＝＋2＝＋2＝2－i. 1＋i?1＋i??1－i?设z2＝a＋2i(a∈R)， 则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又z1·z2是实数， ∴4－a＝0，∴a＝4.∴z2＝4＋2i. 18．(2018·湖南浏阳调研)(本小题满分12分)已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解 由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)， 2 x>0，?? 得?y>0，??3xy＝x＋y＋1. (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1. ∴3xy－2xy－1≥0，即3(xy)－2xy－1≥0. ∴(3xy＋1)(xy－1)≥0. ∴xy≥1，∴xy≥1.当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. 2 (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·?∴3(x＋y)－4(x＋y)－4≥0. 2 ?x＋y?2. ??2? ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.∴x＋y≥2. 当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2. 19．(本小题满分12分)关于x的不等式组 ??x－x－2＞0，?2 ?2x＋?2k＋5?x＋5k＜0? 2 2 的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围． 解 不等式x－x－2>0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 不等式2x＋(2k＋5)x＋5k<0， 即为(2x＋5)(x＋k)<0，(*) 555 当－k＜－，即k＞时，(*)的解集是－k，－，此时－2不在不等式组的解集中，所 2225 以k>不符合题意； 2 55 当－k＝－，即k＝时，(*)无解，也不符合题意； 22555 当－k＞－，即k<时，(*)的解集是－，－k. 222要使不等式组的整数解的集合为{－2}， 借助数轴可得－2<－k≤3，解得－3≤k<2， 5 又k<，所以－3≤k<2. 2 综上，实数k的取值范围是[－3，2)． 20．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 122 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a1＋a2≥. 2证明：构造函数f(x)＝(x－a1)＋(x－a2)， 则f(x)＝2x－2(a1＋a2)x＋a1＋a2＝2x－2x＋a1＋a2， 12222 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a1＋a2)≤0，从而得a1＋a2≥. 2(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明． 解 (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1， 1222 则a1＋a2＋…＋an≥. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n(2)证明：构造函数 f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2， 则f(x)＝nx－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a1＋a2＋…＋an＝nx－2x＋a1＋a2＋…＋an， 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0， 所以Δ＝4－4n(a1＋a2＋…＋an)≤0， 1222 从而得a1＋a2＋…＋an≥. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n21．(本小题满分12分)已知不等式mx－2x－m＋1<0. (1)是否存在m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围． 解 (1)不等式mx－2x－m＋1<0恒成立， 即函数f(x)＝mx－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 当m＝0时，f(x)＝1－2x，不满足f(x)<0恒成立； 当m≠0时，f(x)＝mx－2x－m＋1， ??m<0，要使f(x)<0恒成立，需? ?Δ＝4－4m?1－m?<0，? 2 22 2 则m无解． 综上可知，不存在这样的m. (2)设g(m)＝(x－1)m＋(1－2x)， 则g(m)为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线． ??g?－2?<0， 由题意知，当－2≤m≤2时，g(m)的图象为在x轴下方的线段，∴? ??g?2?<0，??－2x－2x＋3<0， ① 即?2 ?2x－2x－1<0， ②? 2 2 －1－7－1＋7解①得x<或x>， 221－31＋3 解②得 由①②，得 22 ??－1＋71＋3 ∴x的取值范围为?x? ? ?. ? 22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二 氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为60012 吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x－200x＋ 280000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为 y180000＝x＋－200≥2x2x180000 x·－200 2x180000 ＝200(400≤x≤600)，当且仅当x＝， 2x即x＝400时等号成立． 故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S，则 S＝100x－y ?12?＝100x－?x－200x＋80000? ?2? 12 ＝－x＋300x－80000 212 ＝－(x－300)－35000. 2∵400≤x≤600， 12 ∴Smax＝－(400－300)－35000＝－40000. 2 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损． 专题测试二 立体几何 第Ⅰ卷 (选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱 答案 B 解析 易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形，故选B． 2．(2018·郑州检测)已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( ) 答案 C 解析 由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线．故选C． 3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 S表＝4πR＝6π，∴R＝∴x＝1．∴V正四棱柱＝2．故选B． 4．(2018·贵阳模拟)设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥α，n∥α，则m∥n； ④若m⊥α，n⊥α，则m∥n． 上述命题中，所有真命题的序号是( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 答案 A 解析 对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以①正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以②错误；对于③，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以③错误；对于④，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以④正确．故选A． 5．(2018·太原三模)如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( ) 2 62222，设正四棱柱底面边长为x，则x＋x＋2＝(2R)，2 ππA．2＋ B．2＋ 23ππ C．4＋ D．4＋ 32答案 A 1 解析 由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成，这个几何体的体积V＝ 21π22 ×π×1×1＋×(2)×2＝2＋．故选A． 22 6．(2018·江西赣州二模)某几何体的主视图和左视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( ) A．48 B．64 C．96 D．128 答案 C 解析 由题图2及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，∴CO＝CD＋OD＝6＝OA，∴俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96．故选C． 7．(2018·郑州质检三)已知A，B，C，D四点在半径为5的球面上，且AC＝BD＝4，AD＝BC＝11，AB＝CD，则三棱锥D－ABC的体积是( ) A．67 B．47 C．27 D．7 答案 C 2 2 解析 如图所示，将三棱锥D－ABC放在长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，则依题意有 a＋c＝AC＝16，??22 2 ?a＋b＝BC＝11，??a2＋b2＋c2＝?2R?2＝20， 222 ?a＝7，解得?b＝2， ?c＝3， 1132 则三棱锥D－ABC的体积为 abc－4·abc＝27．选C． 8．(2018·山西四校联考) 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤ OM∥平面PBC． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 解析 矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是 PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥ 平面PDA．因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．故选C． 9．(2018·大庆质检一)已知一个圆柱的轴截面是边长为a的正方形．在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，则圆柱内除了球之外的几何体的体积为( ) πaπaπaπaA． B． C． D． 46812答案 D 3 3 3 3 解析 由题意可知，该圆柱底面直径和高都是a，故其体积为V1＝πRh＝π××a＝ 2πa4π34πa3πa．而圆柱体的内切球的直径也为a，故其体积为V2＝R＝×＝，所以圆柱体43326πa内除球体以外部分的体积为V＝V1－V2＝．故选D． 12 10．(2018·湖南长沙四校联考)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( ) 3 3 3 2 a2 A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 答案 D 解析 设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R－h)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)；③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为πR－；④中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R22－h)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D． 11．(2018·福建莆田质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面α过直线BD，α⊥平面 22 2 2 hh2 222 AB1C，α∩平面AB1C＝m，平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，β∩平面ADD1A1＝n，则m，n所成的角的余弦值为( ) 1123A． B． C． D． 2322答案 D 解析 如图，由题中条件知，直线m为B1O，直线n为A1D， ∵B1C∥A1D，∴B1O与A1D所成的角为∠CB1O(或其补角)，设正方体的棱长为a，在△CB1O26 a，B1O＝a，∴cos∠CB1O＝22 622 a＋?2a?2－a2222×6 a×2a2 3 ．故选D． 2 中，B1C＝2a，CO＝＝ 12．(2018·太原模拟)三棱锥D－ABC中，已知CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若 AE∥CD，AB＝CD＝AE＝2，则三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分构成的几何体的体 积为( ) A．331 B． C． D．3 933 答案 B 解析 如图所示，设AD∩CE＝F，连接DE．三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分 为三棱锥F－ABC．由题意AE∥CD，AE＝CD，所以四边形ACDE是平行四边形，取AC的中点 M，连接FM，BM，则FM＝1，BM＝BC2－CM2＝3，由题意可知FM⊥平面ABC．所以三棱锥F1 －ABC的高是FM．又正三角形ABC的面积S＝AB·ACsin60°＝3，所以三棱锥F－ABC的 213 体积V＝S·FM＝．故选B． 33 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________． Rr 答案 23 3 2 解析 由水面高度升高r，得圆柱体积增加πRr，恰好是半径为r的实心铁球的体积，43R232 因此有πr＝πRr．故＝． 3r3 14．直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°， AA1＝22，则球O的表面积为________． 答案 16π 解析 由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即2＋2＋?22?＝4，故球O的表面积S＝4πR＝16π． 15．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为________． 2 2 2 2 答案 8π 解析 由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为V＝π×1×(5＋3)＝8π． 16．(2018·唐山模拟)已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为________． 答案 8π 2 解析 依题意，该八面体的各个顶点都在同一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，因为该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为22，故球的半径为2，该球的表面积为4π(2)＝8π． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(2018·珠海摸底)(本小题满分10分)中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销 2 活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形(△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′)，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S－EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合(如图所示)． (1)求证：平面SEG⊥平面SFH； 5 (2)已知AE＝，过O作OM⊥SH于点M，求cos∠EMO的值． 2解 (1)证明：因为折叠后A，B，C，D重合于一点O， 所以拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形， 所以底面EFGH是正方形，故EG⊥FH． 因为在原平面图形中，△SEE′≌△SGG′， 所以SE＝SG，所以EG⊥SO． 又FH∩SO＝O，FH?平面SFH，SO?平面SFH， 故EG⊥平面SFH． 又因为EG?平面SEG， 所以平面SEG⊥平面SFH． 55 (2)依题意，当AE＝时，即OE＝． 22555 Rt△SHO中，OH＝，SH＝， 22故SO＝5，所以OM＝ SO·OH＝5． SH由(1)知EG⊥平面SFH，且OM?平面SFH， 故EG⊥OM，从而EO⊥OM， 3522 故Rt△EMO中，EM＝EO＋OM＝， 2 OM2 所以cos∠EMO＝＝． EM3 18．(2018·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 解 (1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM． 因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM． 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC． 而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD． 证明如下：连接AC交BD于O．因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点． 连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP． 又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD． 19．(2018·南昌二模)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD． (1)确定点E，F的位置，并说明理由； (2)求三棱锥F－DCE的体积． 解 (1)因为平面CEF∥平面PAD． 平面CEF∩平面ABCD＝CE， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD， 1 又AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC＝AE＝AB， 2即点E是AB的中点． 因为平面CEF∥平面PAD， 平面CEF∩平面PAB＝EF， 平面PAD∩平面PAB＝PA． 所以EF∥PA，又因为点E是AB的中点， 所以点F是PB的中点， 综上，E，F分别是AB，PB的中点． (2)因为PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所以PE⊥平面ABCD． 又F为PB的中点，AB∥CD，AB⊥AD， 11112 所以V三棱锥F－DCE＝V三棱锥P－DCE＝S△DEC·PE＝××2×2×2＝． 26623 20．(2018·石家庄一模)(本小题满分12分)四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形， AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形． →→ (1)点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值； (2)若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离． 解 (1)因为BC∥平面SDM， BC?平面ABCD， 平面SDM∩平面ABCD＝DM， 所以BC∥DM． 因为AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形， 又AB＝2CD，所以M为AB的中点， →→因为AM＝λAB， 1 所以λ＝． 2 (2)因为BC⊥SD，BC⊥CD，CD∩SD＝D， 所以BC⊥平面SCD， 又BC?平面ABCD， 所以平面SCD⊥平面ABCD， 在平面SCD内过点S作SE⊥CD于点E，连接AE， 因为平面SCD∩平面ABCD＝CD， 所以SE⊥平面ABCD， 在Rt△SEA和Rt△SED中， 因为SA＝SD， 所以AE＝SA－SE＝SD－SE＝DE， 又由题知∠EDA＝45°， 所以AE⊥ED， 由已知求得AD＝2， 所以AE＝ED＝SE＝1． 2222111 连接BD，则V三棱锥S－ABD＝××2×1×1＝， 323又求得△SAD的面积为3， 2 设点B到平面SAD的距离为h， 11 所以由V三棱锥B－SAD＝V三棱锥S－ABD＝S△SAD·h＝， 3323 解得h＝， 3 23 所以点B到平面SAD的距离为． 3 21．(2018·山东青岛统测)(本小题满分12分)如图，圆柱H横放在底面边长为1的正六棱锥P－ABCDEF的顶点P上，O1和O2分别是圆柱左、右两个底面的圆心，正六棱锥P－ABCDEF底面中心为O，PO＝1，M，N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点，G是圆柱H的底面 O2的最低点，P为NG的中点，点M，O1，N，A，O，D，G，P共面，点O1，P，D共线，四边 形ADGN为矩形． (1)求圆柱H的体积V，并证明：MG∥平面PCD； (2)作出点O在平面PAB上的正投影K，并加以证明． 注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥． 解 (1)∵O为正六棱锥P－ABCDEF底面的中心， ∴PO⊥底面ABCDEF， ∵P为NG的中点，四边形ADGN为矩形，O为AD的中点，PO＝1， ∴NA∥PO，NA＝PO＝1，从而NA⊥底面ABCDEF， ∵M，N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点， ∴O1N⊥底面ABCDEF， 从而M，O1，N，A四点共线． ∵正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为1，∴AD＝2， ∵四边形ADGN为矩形， ∴NG∥AD，且NG＝AD＝2， 1 又P为NG中点，NP∥AD，且NP＝AD＝1， 2 ∴在△O1AD中，NP为△O1AD的中位线，从而N为O1A中点， ∴O1N＝AN＝1， ∴圆柱H的体积V＝π×1×2＝2π． ∵P为NG的中点，O1为MN的中点，∴PO1∥MG， 又O1，P，D共线，∴PD∥MG， ∵PD?平面PCD，MG?平面PCD， ∴MG∥平面PCD． (2)取AB的中点Q，连接OQ，PQ， 在△POQ中，作OK⊥PQ于K， 则K为点O在平面PAB上的正投影． 下面证明： ∵六棱锥P－ABCDEF为正棱锥， ∴PA＝PB，从而AB⊥PQ， ∵正六棱锥P－ABCDEF底面中心为O， ∴PO⊥底面ABCDEF， 又AB?底面ABCDEF，∴AB⊥PO， ∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面POQ， 又OK?平面POQ，∴AB⊥OK， 又PQ∩AB＝Q，∴OK⊥平面PAB， ∴点O在平面PAB上的正投影为K． 22．(2018·河北衡水中学九模)(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 2 AB＝1，AD＝2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQ＝λQC(λ>0)． (1)当λ＝1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ； (2)是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)证明：λ＝1时，Q为BC的中点，因为E是AD的中点， 所以ED＝BQ，ED∥BQ，则四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥QD． 又BE?平面A1DQ，DQ?平面A1DQ， 所以BE∥平面A1DQ． 又F是A1A中点，所以EF∥A1D， 因为EF?平面A1DQ，A1D?平面A1DQ， 所以EF∥平面A1DQ． 因为BE∩EF＝E，EF?平面BEF，BE?平面BEF， 所以平面BEF∥平面A1DQ． (2)连接AQ，BD，FQ， 因为A1A⊥平面ABCD， BD?平面ABCD， 所以A1A⊥BD． 若BD⊥FQ，A1A，FQ?平面A1AQ，A1A∩FQ＝F， 所以BD⊥平面A1AQ． 因为AQ?平面A1AQ，所以AQ⊥BD． 在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA， 所以AB＝AD·BQ． 13 又AB＝1，AD＝2，所以BQ＝，QC＝， 22 2 BQ11 则＝，即λ＝． QC33
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