2019_2020学年新教材高中数学课时分层作业49简单的三角恒等变换(含解析)新人教A版必修第一册

课时分层作业(四十九) 简单的三角恒等变换

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

π?2?1．函数f(x)＝cos?x＋?，x∈R，则f(x)( ) 4??A．是奇函数 B．是偶函数

C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 π??1??D [原式＝?1＋cos?2x＋?? 2??2??1

＝(1－sin 2x) 211

＝－sin 2x， 22

此函数既不是奇函数也不是偶函数．]

cos αcos α

2．已知＝3，则的值为( )

1＋sin αsin α－1A.

33

B．－ C.3 D．－3 33

2

2

cos αcos αcosα1－sinαB [∵·＝2＝2＝－1

1＋sin αsin α－1sinα－1sinα－1且

cos αcos α3

＝3，∴＝－.]

1＋sin αsin α－13

12B＋C3．在△ABC中，若cos A＝，则sin＋cos 2A＝( )

321

A．－

91C．－

3A [sin＝＝

2

1B. 91D. 3

B＋C2

＋cos 2A

1－cos?B＋C?2

＋2cosA－1

21＋cos A2

＋2cosA－1 2

1＝－.]

9

3?ππ?4．已知tan 2α＝，α∈?－，?，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，4?22?π??且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin?α－?的值为( )

4??

25

A．－

523C．－

5

B．－

5 53 5

D．－

32tan α31

A [由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)2

41－tanα43－sin(x－α)－2tan α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－故选A.]

5．已知f(x)＝2sinx＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )

A．2π，?

2

310

，cos α＝

1

π?ππ25?，所以sin?α－?＝sin αcos－cos αsin＝－，4?445?10

?3π，7π?

?8??8

B．π，?

?3π，7π?

?8??8

?π3π?C．2π，?－，?

8??8

B [∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x π??＝1＋2sin?2x－?， 4??

2π

∴f(x)的最小正周期T＝＝π，

2由

?π3π?D．π，?－，?

8??8

ππ3π

＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 242

得f(x)的单调减区间为

3π7π

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 88当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间?二、填空题

6．有以下四个关于三角函数的命题： ①?x0∈R，sin

20

?3π，7π?，故选B.]

8??8?

x2

＋cos

20

x1

＝；②?x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③?x∈[0，22

π]，1－cos 2xπ

＝sin x；④sin x＝cos y?x＋y＝. 22

其中假命题的序号为________．

12x2x①④ [因为sin＋cos＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x222－sin y，所以②为真命题；因为1－cos 2x＝2

1－?1－2sinx?

＝|sin x|＝sin x，x∈[0，

2

2ππ

π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题．]

22

7．化简下列各式：

ππ

(1)＜α＜，则1－sin 2α＝________.

42(2)α为第三象限角，则

1＋cos 2α1－cos 2α

－＝________.

cos αsin α

?ππ?(1)sin α－cos α (2)0 [(1)∵α∈?，?，∴sin α＞cos α，

?42?

∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α ＝sinα－2sin αcos α＋cosα ＝?sin α－cos α?＝sin α－cos α.

(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， 1＋cos 2α1－cos 2α2cosα2sinα∴－＝－ cos αsin αcos αsin α＝

－2cos α－2sin α

－＝0.]

cos αsin α

2

2

2

2

2

8．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．

[－5,3] [f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sinx＋4sin x＝－2(sin x－1)＋3. 当sin x＝1时，f(x)取得最大值3， 当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5， 所以函数f(x)的值域为[－5,3]．] 三、解答题

3xx2sin x9．求证：tan－tan＝. 22cos x＋cos 2x3xx[证明] 法一：(由左推右)tan－tan 22

2

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