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初中数学竞赛辅导资料+例题(含答案)②初二竞赛资料17-28

来源:用户分享 时间:2025/7/24 8:35:24 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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a?4?a?2b?14 ? 解得

3a?3b??3b?5?∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

又解:原式=2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20) 这是关于x的二次三项式 常数项可分解为-(3y-4)(3y+5),用待定系数法,可设 2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20)=[mx-(3y-4)][nx+(3y+5)] 比较左、右两边的x2和x项的系数,得m=2, n=1 ∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

练习19

1.

分解因式:①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4-23x2y2+y4 2. 分解因式: ①x3+4x2-9 ②x3-41x+30

③x3+5x2-18 ④x3-39x-70

3. 分解因式:①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3-3x2+3x+7

③x3-9ax2+27a2x-26a3 ④x3+6x2+11x+6 ⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2

4. 分解因式:①3x3-7x+10 ②x3-11x2+31x-21

③x4-4x+3 ④2x3-5x2+1

5. 分解因式:①2x2-xy-3y2-6x+14y-8 ②(x2-3x-3)(x2+3x+4)-8

③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48 ④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91

6.分解因式: ①x2y2+1-x2-y2+4xy ②x2-y2+2x-4y-3

③x4+x2-2ax -a+1 ④(x+y)4+x4+y4

⑤(a+b+c)3-(a3+b3+c3)

7. 己知:n是大于1的自然数 求证:4n2+1是合数

8.己知:f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式,也是p(x)的因式

求:当x=1时,f(x)的值

初中数学竞赛辅导资料(20)

代数恒等式的证明

内容提要

证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。

具体证法一般有如下几种

1.从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。 2.把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式。

3.证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边-右边=0可得左边=右边。

4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边, 例题

例1求证:3 n+2-2n2+2×5 n+2+3 n-2 n=10(5 n+1+3 n-2 n-1)

证明:左边=2×5×5 n+1+(3 n+2+3 n)+(-2 n+2-2 n) =10×5 n+1+3 n(32+1)-2 n-1(23+2) =10(5 n+1+3 n-2 n-1)=右边

又证:左边=2×5 n+2+3 n(32+1)-2 n(22+1) =2×5 n+2+10×3 n-5×2 n

右边=10×5 n+1+10×3 n-10×2 n-1

=2×5 n+2+10×3 n-5×2 n

∴左边=右边

例2 己知:a+b+c=0 求证:a3+b3+c3=3abc 证明:∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)(见19例1)

∵:a+b+c=0

∴a3+b3+c3-3abc=0 即a3+b3+c3=3abc 又证:∵:a+b+c=0 ∴a=-(b+c) 两边立方 a3=-(b3+3b2c+3bc2+c3) 移项 a3+b3+c3=-3bc(b+c)=3abc 再证:由己知 a=-b-c 代入左边,得

(-b-c)3+ b3+c3=-(b3+3b2c+3bc2+c 3)+b3+c3 =-3bc(b+c)=-3bc(-a)=3abc

111?b??c?,a≠b≠c 求证:a2b2c2=1 bca11b?cb?c证明:由己知a-b=?? ∴bc=

cbbca?b11c?ac?aa?b b-c=?? ∴ca= 同理ab= accab?cc?aa?bb?cc?a ∴ab bc ca==1 即a2b2c2=1 c?aa?bb?c例3 己知a+

例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式(a,b,c是常数)求证:b2-4ac=0 证明:设:ax2+bx+c=(mx+n)2 , m,n是常数

那么:ax2+bx+c=m2x2+2mnx+n2

?a?m2?根据恒等式的性质 得?b?2mn ∴: b2-4ac=(2mn)2-4m2n2=0

?c?n2?

练习20

1. 求证: ①(a+b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2-(a-b-c)2=8ab

②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3-(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n-a2 n+1)(a2 n+a n+1) 2.己知:a2+b2=2ab 求证:a=b 3.己知:a+b+c=0

求证:①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 4.己知:a2=a+1 求证:a5=5a+3

5.己知:x+y-z=0 求证: x3+8y3=z3-6xyz 6.己知:a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证:a=b=c

7.己知:a∶b=b∶c 求证:(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c) 8.己知:abc≠0,ab+bc=2ac 求证:9.己知:

1111??? abbcxyz 求证:x+y+z=0 ??a?bb?cc?a10.求证:(2x-3)(2x+1)(x2-1)+1是一个完全平方式 11己知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证:ad=bc

初中数学竞赛辅导资料(21)

比较大小

内容提要

1. 比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用求差法。根据不等式的性质:

当a-b>0时,a>b; 当a-b=0时,a=b; 当a-b<0时a<b。

2. 通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的个数决定其符号。 3. 需要讨论的可借助数轴,按零点分区。

4. 实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到它。即若a是实数,则a2≥0,

由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式)。诸如

(a-b)2≥0, a2+1>0, a2+a+1=(a+

123)+>0 24-a2≤0, -(a2+a+2)<0 当a≠b时,-(a-b)2<0

例题

例1 试比较a3与a的大小 解:a3-a=a(a+1)(a-1) a3-a=0,即a3=a

以-1,0,1三个零点把全体实数分为4个区间,由负因数的个数决定其符号: 当a<-1时,a+1<0,a<0,a-1<0(3个负因数)∴a3-a<0 即a3<a 当-1<a<0时 a<0,a-1<0(2个负因数) ∴a3-a>0 即a3>a 当0<a<1时, a-1<0(1个负因数) ∴a3-a<0 即a3<a 当a>1时,没有负因数, ∴a3-a>0 即a3>a 综上所述当a=0,-1,1时, a3=a

当a<-1或0<a<1时,a3<a

当-1<a<0或a>1时,a3>a。 (试总结符号规律)

例2 什么数比它的倒数大? 解:设这个数为x,则当并且只当x -

1>0时,x 比它的倒数大, x1x2?1(x?1)(x?1)? x -= -1 0 1 xxx以三个零点-1,0,1把实数分为4个区间,由例1可知

当x>1或-1<x<0时,x比它的倒数大。

例3 己知步行的速度是骑车速度的一半,自行车速度是汽车速度的一半,甲、乙两人同时从A去B,甲乘汽车到中点,后一半用歩行,乙全程骑自行车,问誰先到达?

xx5x解:设从A到B有x千米,步行速度每小时y 千米,那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲=2?2?,

4yy8yt乙=

x 4y5xx3x?? ∵x>0,y>0 ∴t甲-t乙>0 8y4y8yt甲-t乙=

答:乙先到达B地

例4己知a≠b≠c,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca 证明:a2+b2+c2-ab+bc+ca=

11×2(a2+b2+c2-ab+bc+ca)=(2a2+2b2+2c2-2ab+2bc+2ca) 221=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] 2∵a≠b≠c,(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0 ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca

又证:∵a≠b,∴(a-b)2>0 a2+b2>2ab(1) 同理b2+c2>2bc(2) c2+a2>2ca(3)

(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca 即a2+b2+c2>ab+bc+ca 例5 比较 3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2的大小 解:3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3[(1+a+a2)2-2a-2a2-2a3]-(1+a+a2)2

=2(1+a+a2)2-6a(1+a+a2) =2(1+a+a2)( 1+a+a2-3a)=2(1+a+a2)(1-a)2 ∵1+a+a2=(

13?a)2?>0, (1-a)2≥0 24∴当a=1时,3(1+a2+a4)=(1+a+a2)2 当a≠1时,3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2 例6 解方程 2x?1?x?2?4 解:以-0.5,和2两个零点分为3个区间

当x<-0.5时,-(2x+1)-(x-2)=4, 解得x=-1 当-0.5≤x<2时,(2x+1)-(x-2)=4, 解得x=1 当x≥2时,(2x+1)+(x-2)=4 解得x=

5, ∴在x≥2范围无解 3综上所述原方程有两个解x=-1, x=1 练习21

1. 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。并用“<”号把它们连接。 2. 比较下列各组中的两个数值的大小:

①a4与a2 ②

aa?1与 a?1a?23. 什么数的平方与立方相等?什么数的平方比立方大?

4. 甲乙两人同时从A去B,甲一半路程用时速a千米,另一半路程用时速b千米;乙占总时间的一半用

时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达? 5. 己知 a>b>c>d>0且a∶b=c∶d, 试比较a+c与b+d的大小 6. 己知aay+bx

7. 己知aaz+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy

(提示:可应用第6题的结论)

8. 己知a

11a? ②ab<1 ③?1 ④a-2b<0 abb9.若a,b,c都是大于-1的负数,(即-1<a,b,c<0下列不等式哪些不能成立?试各举一个反例。 ①a+b-c>0 ②(abc)2>1 ③a2-b2-c2<0 ④abc>-1

10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管,其中有的是进水管,有的是出水管,同时开放其中的两条水管,注满水池所用的时间列表如下 开放的水管号 时间(小时)

①② 2 ②③ 15 ③④ 6 ④⑤ 3 ⑤① 10 问单独开放哪条水管能最快注満水池?答:___ (1989年全国初中数学联赛题)

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