a?4?a?2b?14 ? 解得
3a?3b??3b?5?∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式 常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设 2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］ 比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1 ∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
练习19
1．
分解因式：①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4－23x2y2+y4 2. 分解因式： ①x3+4x2－9 ②x3－41x+30
③x3+5x2－18 ④x3－39x－70
3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3－3x2+3x+7
③x3－9ax2+27a2x－26a3 ④x3+6x2+11x+6 ⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x3－7x+10 ②x3－11x2+31x－21
③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1
5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91
6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy ②x2－y2+2x－4y－3
③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4
⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）
7. 己知：n是大于1的自然数 求证：4n2+1是合数
8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值
初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。 2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边， 例题
＋
例1求证：3 n+2－2n2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n） ＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2) ＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1) ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc 证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc 又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c） 两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3） 移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc 再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 ＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
111?b??c?,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1 bca11b?cb?c证明：由己知a-b=?? ∴bc=
cbbca?b11c?ac?aa?b b-c=?? ∴ca= 同理ab= accab?cc?aa?bb?cc?a ∴ab bc ca＝＝1 即a2b2c2=1 c?aa?bb?c例3 己知a+
例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0 证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常数
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
?a?m2?根据恒等式的性质 得?b?2mn ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
?c?n2?
练习20
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1) 2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b 3.己知：a+b+c=0
求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 4.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0 求证： x3+8y3=z3－6xyz 6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c) 8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 求证：9．己知：
1111??? abbcxyz 求证：x+y+z=0 ??a?bb?cc?a10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式 11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc
初中数学竞赛辅导资料（21）
比较大小
内容提要
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：
当a－b＞0时，a＞b； 当a－b＝0时，a=b； 当a－b＜0时a＜b。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。 3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，
由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a－b)2≥0， a2+1＞0， a2+a+1=(a+
123)+＞0 24－a2≤0， －（a2+a+2）＜0 当a≠b时，－（a－b）2＜0
例题
例1 试比较a3与a的大小 解：a3－a=a(a+1)(a－1) a3－a=0,即a3=a
以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号： 当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0 即a3＜a 当－1＜a＜0时 a＜0,a－1＜0（2个负因数） ∴a3－a＞0 即a3＞a 当0＜a＜1时， a－1＜0（1个负因数） ∴a3－a＜0 即a3＜a 当a＞1时，没有负因数， ∴a3－a＞0 即a3＞a 综上所述当a=0,－1，1时， a3=a
当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a
当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。 （试总结符号规律）
例2 什么数比它的倒数大？ 解：设这个数为x，则当并且只当x －
1＞0时，x 比它的倒数大， x1x2?1(x?1)(x?1)? x －＝ －1 0 1 xxx以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知
当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。
例3 己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？
xx5x解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲＝2?2?，
4yy8yt乙＝
x 4y5xx3x?? ∵x＞0，y＞0 ∴t甲－t乙＞0 8y4y8yt甲－t乙＝
答：乙先到达B地
例4己知a≠b≠c，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca 证明：a2+b2+c2－ab+bc+ca＝
11×2（a2+b2+c2－ab+bc+ca）＝（2a2+2b2+2c2－2ab+2bc+2ca） 221＝［（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2］ 2∵a≠b≠c，（a-b）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0 ∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca
又证：∵a≠b，∴（a-b）2＞0 a2+b2＞2ab(1) 同理b2+c2＞2bc(2) c2+a2>2ca(3)
(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca 即a2+b2+c2＞ab+bc+ca 例5 比较 3（1＋a2+a4）与(1+a+a2)2的大小 解：3（1＋a2+a4）－(1+a+a2)2＝3［（1＋a+a2）2-2a-2a2-2a3］－(1+a+a2)2
＝2(1+a+a2)2－6a(1＋a+a2) =2(1＋a+a2)( 1＋a+a2-3a)=2(1＋a+a2)(1-a)2 ∵1＋a+a2＝（
13?a)2?＞0， (1-a)2≥0 24∴当a=1时，3（1＋a2+a4）＝(1+a+a2)2 当a≠1时，3（1＋a2+a4）＞(1+a+a2)2 例6 解方程 2x?1?x?2?4 解：以－0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得x=－1 当－0.5≤x<2时，（2x+1）－（x-2）=4, 解得x=1 当x≥2时，（2x+1）+(x－2)＝4 解得x=
5, ∴在x≥2范围无解 3综上所述原方程有两个解x=－1, x=1 练习21
1． 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。并用“＜”号把它们连接。 2． 比较下列各组中的两个数值的大小：
①a4与a2 ②
aa?1与 a?1a?23． 什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？
4． 甲乙两人同时从A去B，甲一半路程用时速a千米，另一半路程用时速b千米；乙占总时间的一半用
时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达？ 5． 己知 a>b>c>d>0且a∶b=c∶d， 试比较a+c与b+d的大小 6． 己知a
7． 己知a
(提示：可应用第6题的结论)
8． 己知a ① 11a? ②ab<1 ③?1 ④a－2b<0 abb9.若a,b,c都是大于－1的负数，（即－1＜a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。 ①a+b－c>0 ②(abc)2>1 ③a2-b2-c2<0 ④abc>-1 10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下 开放的水管号 时间（小时） ①② 2 ②③ 15 ③④ 6 ④⑤ 3 ⑤① 10 问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿ （1989年全国初中数学联赛题）
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