初中数学竞赛辅导资料+例题(含答案)②初二竞赛资料17-28

初中数学竞赛辅导资料（22）

分式

内容提要

1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。 (1)分式

A中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都B化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。

A都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。 BA(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。

B(2)若A、B及

2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。 例题

x2?2x?3例1．x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？ 2x?2xx2?2x?3（x?1)(x?3)解： ＝ 2x(x?2)x?2x

0 -2 -1 3

以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；

当x<－2, －13时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数） 当－2

2m?7的值是正整数？ m?192m?72m?2?9解：＝＝2＋

m?1m?1m?1x?4x?2x?2x?4当例3．计算＋－－

x?1x?3x?1x?39＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数 m?1例2．m取什么值时，分式

即m－1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋

3131＋1＋－1－－1－

x?1x?3x?1x?3＝

3(x?1)?3(x?1)(x?3)?(x?3)＋

(x?1)(x?1)(x?3)(x?3)48－66＋＝ 2222x?1x?9(x?1)(x?9)＝

a2?ab4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a∶b∶c ②2

c?bc解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加

得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k

a2?ab(2k)2?2k?k1∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②2＝＝ 26c?bc(3k)＋k?3k例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值

呢？

解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9, 0≤y≤9

10x?y9x＝1＋

x?yx?y9x9x的值最小；当x取最大值9，y取最小值0时，分式的x?yx?y当x取最小值1，y取最大值9时，分式

值最大。

答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 练习22

1． a=___时，分式

a?2a2?a?6的值是0

?2x?2y?z?0x2?y2?z22． 已知?则分式2＝＿＿＿＿ 22x?2y?z?0x?y?z?3． 若x和分式

3x?2都是整数，那么x=_______________ x?11121)-______ ②(x2+2+2)÷（x+)=____ xxx4． 直接写出结果:

① x＋21x2=(x+

③ （x2-

11111）÷（x+）=__＿＿ ④（1＋（1－)?)＝＿＿＿＿

xxxx2x2

5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。

11＋1＋111＋x　x2?x?26．x取什么值时分式的值是零？是正数？是负数？

x2?97．计算：①

2x?4x?2x?4x?21124?????＋ ② 24x?1x?3x?1x?31?x1?x1?x1?xx2?2x?1x?10 ③ ?2?223x?8x?4x?x?2x?46x?7x?28．解方程：

x3?2x3?9x?9x?10x?6x?7?2?2x?1 2???x?x?1x?2x?4x?8x?9x?5x?6⑶

x?a?bx?b?cx?c?a111???3（其中???0) cababc　xy ∶ yzzx9．已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1, 求①x∶y∶z ②

10．已知a≠b≠c且

b?cc?aa?b?? 求证：ax+by+cz=0 xyz11.已知：

x?yy?zz?x?? 求：（x+y）∶z的值 zxy12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式糸应满足什么条件？ 14. 已知

ax?3中的x不论取什么值分式的值都不变，问a和b之间的关bx?5abc?? 求证：（a2+b2+c2）(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2 mnp初中数学竞赛辅导资料(23)

递推公式

内容提要

1． 先看一例：a1=b,a2=

22,a3=…… an+1=

a2a12an这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……

n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。

例如: 若 a1=10, 则a2=

211=,a3=10,a4=,a5=10…… 10552. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式

an+1=an+5改为用a1 和n来表示

∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5 …… ∴an=a1+(n-1)5

如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105

3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。 例题

例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2) 求：a100的值 解：a100=a99+2×99

=a98+2×98+2×99

=……

=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2×

(1?99)?99=9902

2

又解：a2=a1+2×1 a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2

a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3 ……

a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902 例2.已知：x1=97, 对于自然数n>1, xn=

nxn?1 求：x1x2x3·……·x8的值

解：由递推公式xn=

nxn?1可知 x1x2=x1

42=2 x3x4=x3=4

x3x1 x5x6=x5

68=6 x7x8=x7=8 ∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384 x5x7例3.已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式

(n-2)an－（n－1）an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199

求：a1＋a2＋a3＋……＋a100

分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1= 可由a100求a99,a98…… 解：a99=

(n?2)an?1

n?1(100?2)a100?198?199?1==197

9999 a98=

(99?2)a99?197?197?1==195

9898用同样方法求得a97=193, a96=191,……a1=1

∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199 ＝

(1?199)?100＝104

2练习23

1. 已知 a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an 那么 a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____ 2. 若a1=2m, an=

2an?1 则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___

3. n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n表示第n项an 4. 已知 a1=10, an+1=2an 求a10

5. 已知 f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)

6. 设x+y=a1, x2+y2=a2, …… xn+yn=an, xy=6, 则a2=a12－2b,

有递推公式an+1=a1an－ban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6

根据下列数据的特点，写出递推公式：

① a1=1, a2=4, a3=7, a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿ ② a1=1, a2=3, a3=6, a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿

7. n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。 8. 平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。

初中数学竞赛辅导资料（24）

连续正整数的性质

内容提要

一.两个连续正整数

1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。

2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。

4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数

例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个）

1. n位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n为正整数，100＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100），

二位数从10到99共90个 （9×101）

三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m的个 数是 m－n+1

把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：

49－13＋1＝19 248－14从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18

248－154. 从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12

349－13从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13

33. 从13到49的连续奇数的个数是你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和

n （n是正整数） 2b?a?1 连续正整数从a到b的和 记作(a+b)

21. 1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）

把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：

55－1123＝759 （∵从11到55有奇数＋1＝23个）

221553－113. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共

232. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×

＋1＝15）

四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和

1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝45 2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98）， （2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1

∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901 五. 连续正整数的积

从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘 1. n个连续正整数的积能被n！整除，

如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；