a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。 2. n！含某因质数的个数。举例如下：
① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个 其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个 其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个
② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个 其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个
其中125＝53含三个5 再增加2个 ∴积中含质因数5的个数是32 例题
例1. 写出和等于100的连续正整数
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
其中2个50和10个10都不能写成连续正整数 而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。 5个20可由20，19＋21，18＋22
得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？ 解：页数编码中，一位数1到9共9个
两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个
三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个 四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个 ∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853
例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数： 1234……99100。问：
①它是一个几位数？
②它的各位上的数字和是多少？
③ 如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？ 解： ①这个数的位数=9×1+90×2+3=192
②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点) ③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：
包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5， 剩下的数的前十位是9999978596。
例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？ 解：∵121＝11，144＝12
∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122
;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。
例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍， 求这两个连续正整数。 解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a 根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1） 把222分解质因数得 x(x+1)=2×3×37a（2） ∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6 且0＜a≤9
由（1）可知a可能是1，3，5，6，8 分别代入（2）只有6适合
x(x+1)=36×37
答所求的连续正整数是36和37
练习24
1. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n位数有____个。 2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。
3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。 4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止，123? ???198位那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____ 这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题) 5. 已知a=111?11, b=999?99 ??????????1990个11990个9 那么①ab=______________
②ab的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法) 6. 计算连续正整数的平方和的个位数：
① 12+22+32+……+92和的个位数是_______ ② 12+22+32+……+192和的个位数是______ ③ 12+22+32+……+292和的个位数是______ ④ 12+22+32+……+392和的个位数是______
⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿
（1990全国初中数学联赛题)
7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：
____________，_________________，_____________________。 8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100
这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。
9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？ (1990
年全国初中数学联赛题)
10. .设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376 11. 计算：① 2+4+6+…+100=
②1+4+7+10+…+100= ③ +10+15+…+100=
12. 有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？
如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。
13. 一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数
加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题) 提 示：先求积中含质因数5的个数
初中数学竞赛辅导资料(25)
十进制的记数法
内容提要
1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，
恰好是十进制数的各个位数：
100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)， 102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数) 例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100 2. 十进制的n位数(n为正整数)，a1a2a3?an 记作：
n10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0，即0 例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴999?9＝10n-1 ?????n个910n?110n?1510n?1，333，555 111?1＝?3＝?5＝???????????939n个1n个5n个34 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表 示0到9的整数，这一性质进行讨论。 例题 例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数 恰好是原数的3倍，求原六位数。 解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x＋1， 根据题意，得 10x＋1＝3（1×105＋x） 7x=299999 x=42857 ∴原六位数是142857 例2. 设n为正整数，计算999?9×999?9＋1999?9 ???????????????n个9 ??n个9n个9解：原数＝（10n –1）×（10n –1）+1×10n+10n－1 ＝102n－2×10n+1+10n+10n－1 ＝102n 例3. 试证明12，1122，111222，……，11?122?2这些数都是两个相邻的正整数的积 ??????n个1n个2 证明：12＝3×4， 1122＝33×34，111222＝333×334 103-1103-1注意到333×334＝333×（333＋1）＝×（＋1） 33由经验归纳法，得 10n?1210n?1n ×10+ 11?122?2＝??????99n个1n个210n?110n10n?110n?12?1) ＝（＋）＝（ 33333上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积 ?? 例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。 证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得 a+b+c+d=9k (k为正整数)，∴d=9k－a －b－c,代入原四位数，得 103a+102b+10c＋9k－a －b－c＝（103－1）a+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) ∵111a+11b+c+k是整数， ∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除 － 推广到n位正整数： n位正整数记作10n1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1） ∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数) ∴an=9k－a1－a2－…－an-1 代入（1）得 － 原数＝10n1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1 ＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k ∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示99?9，99?9，…9 ???????n?1?个9?n?2?个9?1a1＋11?1a2＋…＋an+k） ∴原数＝9（11??????n?1n?2∴这个n位正整数必能被9整除 例5. 已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。 求：这个三位数。 解：设这个三位数为102a+10b+c 其中0＜a≤9, 0≤b,c≤9 100a?10b?ca?b?c＝9a＋b＋且－8 ≤a-b+c≤18 1111∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。 ① 当a-b+c＝11时，商是9a+b+1, 根据题意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9, b=a+c-11=-1不合题意 ② 当a-b+c＝0时，商是9a+b, 9a+b= a+b+c且a-b+c＝11 ?a?1?解得 ?b?9 答这个数是198 ?c?8?例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。 解：∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, ∴可知它们都是四位数 设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2, 根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案 a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17 +) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位) 8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17 从百位上看c+b=8 (进入千位) 可知 c+b=17 (2) (2)+(1)得 b-a=8 ∵0 ∴a=1, b=9, c=8， c-2=6 答这个正整数是1986 练习25 1. 设a是个两位数，b是三位数。当a接在b的左边时，这个五位数应记作_____，当a接在b 的右边时， 这个五位数应记作_____。 2. 有大小两个两位数。大数的2倍与小 数的3倍的和是72。在大数的右边写上一个0再接着写小 数， 得到第一个五位数；在小 数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590。求这两个两位数。 3. 计算：1987×19861986－1986 ×19871987 4. 一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的 个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22位数。 5. 试证明：11－2， 1111－22， 11（即证明各数都?1－22?2，各数都能写成某个正整数的平方。??????2n个1n个2是完全平方数） 6. 一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是4∶7。求符合条件的所有两位数。 7. 已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有abcdef×6＝defabc 求原六位数abcdef 8. 已知四位数abcd除以9得四位数dcba，求原四位数。 9. 一个五位正奇数x，将x中的所有2都 换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位 正奇数，记作y ，若x,y I满足等式： y=2(x+1),那么x=________(1987年全国初中数学联赛题) 10. 已知存在正整数n能使数111?11被1987整除， ?????n个1求证：p=111?11999?99888?88777?77能被1987整除（1987年全国初中数学联赛题） ????????????????????n个1n个9n个8n个711. 一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符合条件的所有三位数。 （1988年全国初中数学联赛题） 12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。求这个三 位数。 13. 求证：111?11是一个合数。 ?????1990个1
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