初中数学竞赛辅导资料（26）
选择题解法（一）
内容提要
1. 选择题有多种类，这里只研究有唯一答案的选择题解法。
2. 对“有唯一答案”的选择题解答，一般从两方面思考：直接选择正确的答案或逐一淘汰错误的选择项。 3. 判断的根据有：运用概念辨析，借助图形判别，直接推理演算，列举反例否定，代入特殊值验证等等。 4. 必须注意：
① 先易后难，寻找突破口。
② 否定选择项，只要有一个反例。
③ 对涉及数值（包括比较大小）的选择题，可考虑用符合条件的特殊值代入判断，包括利用连续数，
奇偶数，平方数，个位数等特征。
④ 概念辨析要注意类同概念的差异，特殊点的取舍，凡分区讨论字母的取值，要做到既不违漏又不
重复。
⑤ 能借助图形判别的，应按比例画出草图。 例题
一.淘汰法
例1. n是正整数，下列哪个数一定不是正整数的平方？（ ） （A）3n2－3n+3 (B)4n2+4n+4 (c)5n2－5n－5 (D)7n2－7n+7 分析：（A）3n2－3n+3＝3[n(n－1)+1] 只要n(n－1)+1＝3，即连续数n(n－1)＝2 这是可能的，n=2时（A）的值是 32
用同样方法可求得（C）,(D)的值可以是52，72
故选 （B）
当然也可直接推出（B）一定不是正整数的平方，∵在4[n(n+1)+1]中，连续整数的积n(n+1)≠3 （连续正整数的积的个位数只能是0，2，6）
例2. a,b,c 都是大于－1的负数，那么下列不等式能成立的是 （ ） (A)(abc)2>1 (B)abc>－1 (C)a2－b2－c2<0 (D)a+b－c>0
分析：一般要“肯定成立”比“否定成立”更难，我们来取特殊值否定：
111，则（A）左边＝（－）2＝＜1 28641111（D）左边＝（－）＋（－）－（－）＝－＜0
222211111对（C）可取a=－,b=c=－，则左边＝－－＞0
2441616∵－1＜a,b,c<0,若取a=b=c=－－
故选 （B）
以上两题都是选用特殊值否定法
例3. 已知abcd>0, c>a , bcd<0, 以下结论能成立的是（ ）
（A）a>0, b>0, c>0, d>0 (B)a<0, b<0 ,c>0 ,d<0, (C)a>0, b<0, c>0 ,d<0 (D)a<0, b>0, c<0, d>0 (E)a>0, b<0, c<0 ,d<0
解：由abcd>0,可知a,b,c,d中负因数的个数是偶数个，故可淘汰(B)和(E)， 再由bcd<0,可知a<0,又可淘汰(A),(C),(E)
故选 (D) 条件c>a 是多余的，本题是用概念辨析来否定选择项 例4. 已知c>1, a=c?1－c, b=c－c?1,则a,b的大小关系是( ) (A)a>b, (B)a≥b, (C)a=b, (D)a
可淘汰(A)，(B)，(C)
为判断有没有特殊值能使a=b ,可用倒推法，设a=b
即c?1－c＝c－c?1， 移项得c?1＋c?1＝2c 两边平方，得2c+2c2?1=4c ，
c2?1＝c
两边再平方,得c2－1=c2,这是不可能的，故可淘汰（E） 正确的答案是（D）
本题是用特值来否定错误的选择项，并结合推理演算 二.直接法 例5.已知 x=1+
1y, y=1+1x(x≠0,y≠0)，则 y=( ) (A)x－1, (B)x+1 (C)1－x (D)x, (E)－x 解：从x=1+
1y， 设x=y（把y与x对换） 则得y=1+1x
故选 （D）
这是用概念辨析法直接选择。
例6.已知a （A） ax+by+cz (B)ax+bz+cy (C)ay+bx+cz (D) ay+bz+cx (E)az+bx+cy 解：按已知选a,b,c,x,y,z的值 0＜1＜2， －1＜0＜1分别计算 （A）＝2， （B）＝1， （C）＝1， （D）＝－1， （E）＝－1 故选 （A） 这是利用特殊值直接判断。 例7. 去年产量比前年产量增长p ％，则前年产量比去年产量下降的比率是（ ）（A） p％, (B)100p, (C)(100－p)％，（D） 100pp100?p％，（E）100?p％ 解：设前年的产量为1，则去年产量是1＋p％， 那么前年比去年下降 (1?p100)?1的比率是 1?p100％＝p100pp％＝100?p％ 1001?100∴选 （D） 本题是直接计算。 （要注意增加、减少的数值差与增长、下降比率的倍数差的区别） 例8.三个连续正整数a,b,c, 已知a2=14884, c2=15376, 那么 b2=( ) （A）15116， （B）15129， （C）15144， （D）15325 解：由已知a 故选 （B） 本题是根据连续数，个位数，平方数的性质直接计算判断的 例9. a,b是实数且满足ab<0,a+b<0,a－b<0, 那么a,b及其相反数的大小和顺序是（（A） a<－b ） 解：多个数大小的比较，借助数轴方便，先标上a,b，再标上它们的相反数，由ab<0知道a,b异号，由a－b<0,知a小于b，即a负b正，由a+b<0可知负数a的绝对值大（即距原点更远）得下图 a －b 0 b －a 故选 （A） 本题是借助图形判别的。 练习26 选择题：每题只有一个正确的答案，把选择的编号填入表中 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 正确答案 的编号 1.已知a<0,－1 111＜a<0,而A＝1＋a2, B=1－a2, C= D= 21?a1?a 那么A,B,C,D的大小关系是 ( ) （A） D 3. 满足等式1983＝1982x=1981y的一组正整数是 （ ） (A) x=12785, y=12768 (B)x=12784, y=12770 (C) x=11888,y=11893 (D) x=1947, y=1945 4. x≠0，y≠0且x= 111 那么（x－）(y+)等于 （ ） yyx（A）2x2 (B) 2y2 (C)x2－y2 (D)y2－x2 (E)非以上答案 5. n为正整数，x为任何实数，下列等式能成立的是（ ） （A） x 1=1, （B）x2?1＝x?1xx?1 x3?1（C）＝x2－x+1 (D)2n?1x=－2n?1?x （E）没一个成立 x?1 6. 把代数式a?1根号外因式a移到根号内时，原式应等于（ ） a（A）-a（B）a（C）－?a （D）－a （E）以上都不对 7.若a>b>c>0,M= (a?b)2?c2, N=(a?c)2?b2,P=(b?c)2?a2 那么 下列五个代数式的值，最小的是 （ ） (A) MN, (B)MP, (C) NP, (D) M2, (E)P2 8.若x<0, 那么 x?x?1等于 ( ) (A) 1, (B) 1－2x , (C) 2x－1, (D)2x+1, (E) –2x－1 9. 一个正整数的算术平方根为A，那么下一个正整数的算术平方根是( ) (A) A?1， (B)A2+1 , (C)A+1, (D)A2?1 , (E)A+1 (1979年美国中学数学竞赛试题) 10. 已知a 是3－3的小数部分，那么 a等于 ( ) (A)0.73， (B)0.27，(C) 2－3， (D)3－1 (E)非以上答案 11. 若∠1＞∠2，且∠1和∠2是邻 补角，那么 ∠2的余角等于 ( ) (A) 111∠1， (B)(∠1+∠2)， (C)(∠1－∠2)，(D_)以上都不对 22212. 从点A向北偏东45度方向走a米到达点B，再向B的南偏西30度方向走b米到达点C，那么 ∠ABC的度数是 ( ) （A） 15 （B）75 （C）150 （D）非以上度数 13. 三条直线a,b,c 的位置关系，下列判断错误的是 （ ） （A）若a∥b, b∥c则a∥c （B）若a∥b，b⊥c 则a⊥c (C) 若a⊥b，b⊥c 则a⊥c （D）若a⊥b，b⊥c 则a∥c 14.对所有实数a,b,c，x,y,z，若x 13－8－ 18－7＋ 17－6－ 16－5＋ 15－2 那么 T的值的范围是 （ ） （A） T＜1， （B）T＝1， （C）T＞2 （D）1＜T＜2 (1974年美国中学数学竞赛年试题) 16.a,b是不相等的正数，三个代数式的值，最大的是（ ） （A）①， （B）②， （C）③， （D）不能确定 ①（ 12 a?b211＋）2 ②（a+）(b+), ③(ab+)2a?babab 初中数学竞赛辅导资料（27） 识图 内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。 面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。 4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E A 甲 D A 丙CD丁乙 OO DCBA B CBE 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题）
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