第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题
一、填空题
参考答案 ：
1. 点 M x, y, z 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 M 1 x, y, z ; 关 于 xOy 平 面 的 对 称 点 为
M 2 x, y, z ；关于原点的对称点为 M 3 x, y, z .
2. 平行于 a ={1 ，1，1} 的单位向量为
1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3
1
平行，
为 .
1
5
3. 已知两点 M 1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量 M 1 M 2 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2 ,
2 、 1
，在坐标轴方向上的分量分别是
i 、
2 j 、 k , 1 , 2
M1M 2
方向余弦 cos
1 、 cos
2 2 、 cos 2
方向角
1200 、
1350
、
60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是
1 , 2
2 , 1 .
2 2
4. 已知两向量 a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k , 则 a 2b 2b 在 oz 轴上的投影为 48 .
2
12i
4 j 8k ，
3a 2b 12i
20 j 48k , 3a
x z t
t 1
5．过点 M (1,2, 1) 且与直线
y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4
0
二、选择题 1. 向量 a 与 b的数量积 a b =（ C ） .
A a rj b a ； B a rj a b ； C 2. 非零向量 a, b 满足 a b
A
a ∥ b ; B
a
rj a b ； D
b
rj a b ． 0 ，则有（ C
）．
b ( 为实数 ) ； C a b ； D a b 0 ． 3. 设 a 与 b 为非零向量，则 a b 0是（ A ）．
B a ⊥ b 的充要条件 ; A a ∥ b 的充要条件；
C a b 的充要条件； D a ∥ b 的必要但不充分的条件．
a
4. 设 i , , 是三个坐标轴正方向上的单位向量，下列等式中正确的是（
jk
k
C ） .
A. j i , B. i j k , C. i i
D ） .
k k , D.
k k
k k
5 设 a, b, c, d 为向量，则下列各量为向量的是（
A.
Pr jb a
B.
b c d
C.
a b c d
k D.
a b c
）．
6. 设 a
2i 3 j 4k ,b 5i
j k ，则向量 c C
– 1；
2a b 在 y 轴上的分向量是（ B
D -9
A 7 B 7 j
7. 以下结论正确的是（ D ）
2
2
2
A.
a b a b
B.
a b a b sin a, b
C. 若 a b D.
a c 或 a b a b
y2 4z2 9
a c ，且 a
0 ，则 b c
a b
2x2 x 1
2a b
8. 方程组
表示（B
）.
A 椭球面； B D
C 椭圆柱面；
x 1 平面上的椭圆； 空间曲线在 x 1平面上的投影 .
x y 0 1 B D
9. 设空间直线的对称式方程为
z 则该直线必（ A） .
A 过原点且垂直于 x 轴； C 过原点且垂直于 z 轴；
2
过原点且垂直于 y 轴； 过原点且平行于 x 轴 .
三、计算题
1、求旋转抛物面 z x 2
2
y 2 与平面 y z =1 的交线在 xy 平面上投影方程
解
从曲线方程
2
z y
x 2 y 2
中 消 去 z ， 得 曲 线 向 xy 平 面 得 投 影 柱 面 方 程
2
z
1
x
y
y 1。于是曲线在 xy 平面商得投影曲线的方程为
x2
z 0
y 1 2
5 4
2. 提示 点法式
3 提示： 过已知直线作垂直于已知平面的平面方程 { 用平面束 }
4.
求过点 (1,2,3) 且与直线 L ： x 1 y
1 z 垂直相交的直线方程 .
解: 过点作垂直已知直线的平面方程为
( x 1) ( y 2) ( z 3) 0,
x
由
1 t y t
代入平面得垂足 (5,4,-3)
z 1 t
所求直线方程为
x 1
4
y 2 z 3
2 6
5 求过直线
x y 2z 3 0 且切于球面 x2
2x y z 0
y 2 z2 1 的平面
解 过所给直线除平面
2x y z 0 外的其它所有平面方程为 2x y z y
0
x y 2z 3
即 1 2 x 1
2 z 3 0 *
球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径 于是
0
2
0 0 3
2
1
1 2 2
1
2 2
得 6
2
3 0
1 19
6
代入 * 得两个所求的平面 6 . 求锥面 z
x2 y2 与柱面 z2 2
2x 所围立体在三个坐标面上的投影
2
2
z 0, x 1 z2
y2 1;
解: x
0, 2
1
y
1,z 0;
y 0, x z 2x.
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