压轴大题2 直线与圆锥曲线(二)
x2y23xy45
1.设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点M到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点.
ab2ab5(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.
3x23x2y2
2.若直线l：y＝－过双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
33ab(1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围.
3.(2015·南通模拟)已知平面上的动点R(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线RA，RB的斜率分别为k1，k2，3
且k1k2＝－，设动点R的轨迹为曲线C.
4(1)求曲线C的方程；
(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQ∥NP，MQ⊥x轴，若直线MN和直线QP交于点S(4，0).问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
1
3x2y2
4.已知直线l：y＝x＋1，圆O：x＋y＝，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的短轴长相
2ab
2
2
等，椭圆的离心率e＝(1)求椭圆C的方程；
2
. 2
1
0，－?的直线l′交椭圆于A，(2)过点M?B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l′3??如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
2
答案精析
压轴大题2 直线与圆锥曲线(二) 1.(1)解 由e＝
32，得c＝32
a，又b2＝a2－c2， 所以b＝1
2
a，即a＝2b.
由左顶点M(－a,0)到直线xa＋y
b＝1，
即bx＋ay－ab＝0的距离d＝45
5
， 得
|b?－a?－ab|452ab45
a2＋b2＝5，即a2＋b2＝5，
把a＝2b代入上式，得4b245
5b＝5，解得b＝1.
所以a＝2b＝2，c＝3. 所以椭圆C的方程为x22
4＋y＝1.
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2. 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故OA→·OB→
＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，也就是x21－y21＝0，
又点A在椭圆C上，所以x214＋y21＝1， 解得|x1|＝|y1|＝
25
5
. 此时点O到直线AB的距离dx25
1＝|1|＝5
. ②当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m， ?y＝kx＋m，与椭圆方程联立有???x2
?4
＋y2
＝1，
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 所以xx8km
4m2－41＋2＝－1＋4k2，x1x2＝1＋4k2. 因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB.
3
所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝0. 所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. 2
)·4m2－48k2所以(1＋km221＋4k2－1＋4k
2＋m＝0. 整理得5m2＝4(k2＋1)， 所以点O到直线AB的距离d1＝|m|k2＋1
＝25
5.
综上所述，点O到直线AB的距离为定值25
5. 2.解 (1)由题意，可得c＝2，b3
a＝3，
所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4， 解得a＝3，b＝1.
故双曲线的方程为x23
－y2
＝1.
(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为y＝kx＋1 (k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). ?y＝kx＋1，由???x2得(1－3k2)x2－6kx－6＝0， ?2
3－y＝1，
所以xk
1＋x2＝
61－3k2， Δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>0?0 3. 设MN的中点为Q(x0，y0)， 则xx1＋x23k1 0＝2＝1－3k2，y0＝kx0＋1＝1－3k2， 故直线m的方程为y－113k1－3k2＝－k??x－1－3k2??， 即y＝－14kx＋1－3k2. 所以直线m在y轴上的截距为4 1－3k2， 由0 3，且k2≠3， 得1－3k2∈(－1,0)∪(0,1)， 所以4 1－3k2∈(－∞，－4)∪(4，＋∞). 故直线m在y轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞). 4
相关推荐：
loading