1965年数学高考试卷
说明：因为年代久远，题目和答案的某些叙述出现错误和不符合现今的数学语言的情况，望见谅！
【正题部分】
1、右面的二面体视图所表示的立体是什么？求出它的体积
2、在A处的甲船测得乙船在北偏西49°48′的B处，以速度22海里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以26海里/小时向北偏西a度的方向沿直线驶去，追赶乙船。问a是多大角度时，经过一段时间，能够在C处恰好与乙船相遇？（lg2.2?0.3424，lg2.6?0.4150）
3、把地球看作半径为R的球，设A、B两地的维度相同，都是?度，它们的经度相差?(0???180)度，求A、B之间的球面距离、
4、（1）证明sin2x?2sinx（x为任意值）
（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明sinnx?nsinx（x为任意值）
5、已知一点P的坐标是(4,?2)，直线l的方程是y?x?5?0，曲线C的方程是求经过P点而与l垂直的直线和曲线C的交点坐标。
6、当p是什么实数时，方程x?px?3?0与方程x?4x?(p?1)?0有一公共根？并求出这个根
7、已知抛物线y?2x
（1）在抛物线上任取两点P1P2的中点，作直线平行于抛物线的轴，和1(x1,y1)、P2(x2,y2)，经过线段P抛物线交于点P3，证明：△P1P2P3的面积为
222(x?1)22?(y?1)24?1。
116y1?y2
3（2）经过线段P1P3和P2P3的中点，分别作直线平行于抛物线的轴，和抛物线一次交于Q1、Q2，试将 △P1P3Q1与△P2P3Q2的面积的和用y1、y2表示出来
（3）仿照（2），又可以作出四个更小的三角形，照这样继续下去，作出一系列的三角形，由此法求出线段P1P2与抛物线所围城的图形的面积
8、附加题
（1）已知a、b、c为实数，证明：a、b、c都为正数的充要条件是：a?b?c?0，ab?bc?ac，abc?0 （2）已知方程x?px?qx?r?0的三个根?、?、?都是实数，证明?、?、?是一个三角形的三个边长的充要条件是：p?0，q?0，r?0，p?4pq?8r
答案：
1、图形是蒸馏棱锥，体积是
33232a3 2、a?9°33′ 3、结果是
?R90arcsin(cos?sin?2)或
15arccos[1?cos2?(1?cos?)]都可以 4、证明略 5、(,)和(?1,3) 1803311336、p??2，公共根是x?3 7、（1）证明略；（2）（3）y1?y2；y1?y2 8、略
6412
?R【副题部分】
1、证明：
2、利用二项式定理求出(0.998)的近似值（精确到0.001）
3、制造一种产品，需要经过三道工序，第一道工序需要4人，第二道工序需要3人，第三道工序需要2人，现在有9个人，其中2人不能做第一道工序，如果把这项任务交给这9个人，问共有多少种分配方法
4、在四面体ABCD中，已知?ABD、?BDC、?CDA都是直角，△ABC三边的长为a、b、c（如下图），求四面体ABCD的体积
5、有一块扇形铁皮OAB（如图），?AOB?60°，OA?72厘米，现在想要剪下一个扇面形ABCD作为
51?sinx?cosx1?sinx?cosx?sinx1?cosx，当分母不为零时恒成立
?都相切的圆形铁皮，圆台形容器的侧面，并且由剩下的扇形铁皮ODC内，剪下一块与OC、OD和CD使它恰为圆台容器的下底 （1）问AD应该取多长？ （2）算出这个容器的容积
6、设p、已知方程x?px?qx?r?0的一个根为?1?i，又知用x?1除x?px?qx?rq、r为实数，所得的余数为?10，求p、q、r的值及方程其余的三个根
7、已知P1、P2是抛物线y?px上的任意两点，并且经过这两点的切线的交点在准线上，证明：P1、P2两点的连线必定经过焦点
8、已知△ABC的边长a、b、c成等差数列，并且cosA?cosB?cosC?2424275，求a、b、c的比
9、附加题：已知四面体三个面上的三角形是全等的，证明：第四个面上的三角形或者和它们全等，或者是一个等边三角形
答案：
1、证明略 2、0.946 3、350 4、1122(b2?c2?a2)(c2?a2?b2)(a2?b2?c2) 5、（1）36厘米；（2）50435?立方厘米 6、p??3、q??6、r??2，另外三个根是?1?i、1?2 7、证明略 8、a:b:c?3:4:5或a:b:c?5:4:3 9、证明略
相关推荐：
loading