线性代数B期末试卷及答案

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(2)R(A)?2,n?3,故通解

??2??1????1?,(k?R).

x?k(ξ2?ξ1)?ξ1?k?0??????2?????1??得 分

五、(本题满分8分)设二次曲面的方程axy?2xz?2byz?1)a?0?x??????Q???,化成?2??2?2?2?1,求a、b的值及正交矩阵y经正交变换????????z??????Q、 ??0?a解:设A???2?1???a?1?2?0b?,由A?E?0,A?2E?0知a?2,b??1.

?b0??????111??1?1?1??~?000?,??(1,1,0)t,??(1,?1,2)T 1?1?1当??1时,A?E??2????1??1?1?1????000???101????(?1,1,1)T. 01?1当???2时,A?2E~???3??000??得 分 Word 文档

线性代数B期末试卷及答案

????故正交阵Q??????1212016?1626?1??3?1?、 3??1?3??六、(本题满分6分)设A为n阶实矩阵,α为A的对应于实特征

值λ的特征向量,β为AT的对应于实特征值μ的特征向量,且λ≠μ,证明α与β正交.

证 :依题意得Aα=λα, ATβ=μβ,将Aα=λα的两边转置得,αTAT =λαT,在上式的两边右乘β得,αTATβ =λαTβ,即μαTβ=λαTβ,亦即(μ-λ)αTβ=0,由于λ≠μ,所以αTβ=0,故α与β正交.

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