均值定理共存型（附答案）

(难度2星)

1（2019·天津高考模拟）已知??>0,??>0，且2??+8???????=0，则????的最小值为______________. 【答案】64 【解析】

等式为乘法与加法共存的形式，

因为要求????的最小值，所以将加法转化成乘法，

∵2??+8???????=0,∴????=2??+8??≥2√2???8??,∴????≥64

当且仅当??=4??=16时取等号， 所以????的最小值为64

(难度2星)

2(原创题目)若正数??,??满足2??+??+6=????，求????的最小值。 【答案】 【解析】

等式为共存形式，所求为相乘形式，所以要将加法转化成乘法。 2??+??=?????6≥2√2????，令??=√2????>0， 则原式转化为2?6≥2??， 解得??≥6(??≤?2舍去)， 所以(????)??????=18

(难度2星)

3(原创题目)已知??>0,??>0，??+2??+2????=8，求??+2??的最小值 【答案】4

【解析】等式为共存形式，所求为相加形式，所以要将乘法转化成加法。 ??+2??≥2√2????→2????=???2??≤

(??+2??)2

4

??2

，所以??+2??=8?2????≥8?

(??+2??)2

4

，

令??=??+2??，则??2+4???32≥0，

解得??≥4(??≤?8舍去)， 所以??+2??的最小值为4

(难度2星)

4（2019·湖北大冶市高二月考）设??,??均为正实数，且2+??+2+??=3，则????的最小值为 ． 【答案】16 【解析】

此题考察均值定理共存型，首先需要对已知等式进行化简整理，

得到乘法与加法共存的形式，所求为相乘形式，所以要将加法转化成乘法。 ??、y均为正实数,且2+??+2+??=3,进一步化简得???????????8=0.

??+??=?????8≥2√????,令??=√???? ??2?2???8≥0,

∴??≤?2(舍去),或??≥4, 即√????≥4,化简可得 ????≥16, ∴????的最小值为16.

(难度4星)

5,若直角三角形的周长为1，求该三角形面积的最大值。 【答案】

3?2√2 4

1

1

1

1

1

1

【解析】

此题考察应用题转化能力以及对于均值定理共存型的处理转化能力。 设直角三角形的两个直角边分别为??,??， 则0

????2

的最大值；

??+??+√??2+??2=1→√??2+??2=1?(??+??)，

等式两边分别平方后化简，得到??+???????=2， 等式为乘法与加法共存的形式，

要想求2的最大值，要将加法转化成乘法， ????=??+???2≥2√?????2→?????2√????+2≥0， 令??=√????，则??2?2??+2≥0， 解得??≤

2?√22

1

1

1

1

????

1

(??≥

2+√22

,√????不可能大于1，舍去)， =

(

2

2?√2)2

????最后得到??

??????=(2)

??????

2

=

3?2√2 4

(难度4星)

6（2019·天津耀华中学高考模拟）若正实数??，??满足(2??+??)2=6????+1，则大值为______. 【答案】

61

????2??+??+1

的最

【解析】

此题为均值定理共存型，但观察所求式子的形式可知无法直接转化，因为所求式子中加法和乘法同时存在，所以需要结合题设条件进行转化，得到只含一种运算法则的形式。 (2??+??)2?1=6?????(2??+??+1)(2??+???1)=6???? ， 即2??+??+1=

????

2??+???1

6

2??+??2

)2

又6????=3?2?????≤3(

=4(2??+??)2 ，

3

等号成立的条件为2??=?? ，

原式整理为(2??+??)2≤1+(2??+??)2?(2??+??)2≤4 ，

43

即0<2??+??≤2 ， 那么2??+??+1=

????????

2??+???1

6

≤

2?161

=6，

1

所以2??+??+1 的最大值是6 .