湖南长沙市师大附中博才实验中学2018—2019学年八年级第二学期期末考试数学试卷 含解析

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（Ⅲ）×350＝252，

答：估计该校350名九年级男生中有252人体能达标．

22．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1＝∠2． （1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若∠BOC＝120°，AB＝4cm，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）因为∠1＝∠2，所以BO＝CO，2BO＝2CO，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CO，BO＝OD，则可证AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； （2）在△BOC中，∠BOC＝120°，则∠1＝∠2＝30°，AC＝2AB，根据勾股定理可求得

BC的值，则四边形ABCD的面积可求．

【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴BO＝CO，即2BO＝2CO． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝OD， ∴AC＝2CO，BD＝2BO， ∴AC＝BD．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：在△BOC中，∵∠BOC＝120°， ∴∠1＝∠2＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴在Rt△ABC中，AC＝2AB＝2×4＝8（cm）， ∴BC＝

（cm）．

．

∴四边形ABCD的面积＝

23．长沙市的“口味小龙虾”冠绝海内外，如“文和友老长沙龙虾馆”订单排队上千号．某衣贸市场甲、乙两家农贸商店售卖小龙虾，甲、乙平时以同样的价格出售品质相同的小

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龙虾，“中非贸易博览会”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示． （1）请求出y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）“中非贸易博览会”期间，如果你是龙虾馆采购员，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？

【分析】（1）利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）当0＜x＜2000时，显然到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，分三种情况进行讨论即可．

【解答】解：（1）设y甲＝kx，把（2000，1600）代入， 得2000k＝1600，解得k＝0.8， 所以y甲＝0.8x；

当0＜x＜2000时，设y乙＝ax，

把（2000，2000）代入，得2000a＝2000，解得a＝1， 所以y乙＝x；

当x≥2000时，设y乙＝mx+n，

把（2000，2000），（4000，3400）代入，得

，

解得

．

所以y乙＝

；

（2）当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；

当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x+600，解得x＜6000； 若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x+600，解得x＞6000；

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若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x+600，解得x＝6000； 故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱； 当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱； 当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．

24．已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接

AF，M是AF的中点，连接MB、ME

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．

【分析】（1）由“ASA”可证△ABM≌△FDM，可得AB＝DF，可得BE＝DE，可得∠EBD＝45°＝∠FCE，可得结论；

（2）由题意可得BE＝DE＝a，可得△BDE是等腰直角三角形，BD＝角形的性质可求BM，ME的长；

（3）延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG，推出BM、ME是两条中位线：BM＝DF，ME＝AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF＝AG，从而证明BM＝ME；

【解答】证明：（1）如图1，延长BM交EF于点D，

a，由等腰直角三

∵∠ABE＝∠ABC＝∠CEF＝90°，

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∴AB∥EF

∴∠DFM＝∠BAM，且AM＝MF，∠AMB＝∠DMF ∴△ABM≌△FDM（ASA） ∴AB＝DF，BM＝DM

∵在等腰直角△ABC和等腰直角△CEF中，AB＝BC，EC＝EF，∠FCE＝45° ∴DF＝AB＝BC ∴EC﹣BC＝EF﹣DF ∴BE＝DE，且∠BED＝90° ∴∠EBD＝45°＝∠FCE ∴BM∥CF

（2）由（1）可知：AB＝BC＝DF，BM＝DM ∵CB＝a，CE＝2a，

∴BE＝DE＝a，且∠CEF＝90° ∴△BDE是等腰直角三角形，BD＝∴BM＝EM＝BD＝

a，且BM＝DM

a，

（3）如图2，延长AB交CE于点D，连接DF，延长FE与CB交于点G，连接AG，

∵△ABC是等腰直角三角形

∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90° ∵∠ECB＝45°

∴∠BDC＝45°＝∠ECB＝∠CAB ∴BD＝BC，AC＝CD

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