【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为 9 ． 【考点】LO：四边形综合题． 【专题】15 ：综合题．
【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论； 探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论； （2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论． 【解答】解：感知：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°， ∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠BAF=∠CBE，
， 在△ABF和△BCE中，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，
过点G作GP⊥BC于P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°， ∴四边形ABPG是矩形， ∴PG=AB，∴PG=BC，
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同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
， 在△PGF和△CBE中，
∴△PGF≌△CBE（ASA）， ∴BE=FG，
（2）由（1）知，FG=BE， 连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点， ∴BE=2CM=2， ∴FG=2， 故答案为：2．
应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6， ∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，
故答案为9．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=BE是解本题的关键．
23．（10.00分）（2018?长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长； （2）当点Q与点C重合时，求t的值；
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
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（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
【考点】KY：三角形综合题． 【专题】15 ：综合题．
【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论； （2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论； （4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4， ∴AC=2 ， ∵PD⊥AC，
∴∠ADP=∠CDP=90°， 在Rt△ADP中，AP=2t，
∴DP=t，AD=APcosA=2t×= t，
∴CD=AC﹣AD=2 ﹣ t（0＜t＜2）；
（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°， ∴∠PQD=30°=∠A， ∴PA=PQ， ∵PD⊥AC， ∴AD=DQ，
∵点Q和点C重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2× t=2 ， ∴t=1；
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2
（3）当0＜t≤1时，S=S△PDQ=DQ×DP=× t×t=t；
当1＜t＜2时，如图2，
CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2 t﹣2 =2 （t﹣1）， 在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，
∴CE=CQ?tan∠CQE=2 （t﹣1）×=2（t﹣1），
2
∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=× t×t﹣×2 （t﹣1）×2（t﹣1）=﹣t+4 t﹣2 ，
＜ ∴S= ；
＜ ＜
（4）
当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，
∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，
∵∠A=∠AQP=30°， ∴∠FPG=60°， ∴∠PFG=30°， ∴PF=2PG=2t， ∴AP+PF=2t+2t=2，
∴t=；
当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，
∴∠QMN=90°，AN=AC= ，QM=PQ=AP=t，
在Rt△NMQ中，NQ==t，
∵AN+NQ=AQ，
∴ +
∴t=，
t=2 t，
当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，
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