▼▼▼2019届数学中考复习资料▼▼▼
分类讨论题
中考专题复习精讲
类型之一 直线型中的分类讨论
直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.
例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°. 答案：D . 同步测试：
1.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；
(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二 圆中的分类讨论
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 例2.（?湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所
0
作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．
【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。 【答案】 3＜r≤4或r＝2.4 同步测试：
3.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，cosB?那么线段AO的长等于 ．
3．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，5
4.（?威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？
类型之三 方程、函数中的分类讨论
方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．
（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．
【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以A，N，D为顶点的三角形与，一定要注意分类讨论。 △BME相似”
【答案】（1）取AB中点H，联结MH，
1M为DE的中点，?MH∥BE，MH?(BE?AD)．
2又
AB?BE，?MH?AB．
11ABMH，得y?x?2(x?0)； 22?S△ABM?（2）由已知得．
以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，
?MH?即． 解得x?11AB?DE， 2244，即线段BE的长为； 33（3）由已知，以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似， 又易证得?DAM??EBM．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①?ADN??BEM；②?ADB??BME． ①当?ADN??BEM时，
AD∥BE，
??ADN??DBE．??DBE??BEM． ?DB?DE，易得BE?2AD．得BE?8；
②当时，
AD∥BE，
??ADB??DBE．
??DBE??BME．又?BED??MEB，
?△BED∽△MEB．
?DEBE，即BE2?EMDE， ?BEEM12得x2?2?(x?4)222?(x?4)2．
2解得x1?2，（舍去）．即线段BE的长为2． 综上所述，所求线段BE的长为8或2． 同步测试：
5.（·福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三．．．角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
同步测试答案：
1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形． 【答案】D
2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B?F?BF，?B?FE??BFE，从而可求得B′E=BF；第(2)小题要注意分类讨论.
【答案】（1）证：由题意得B?F?BF，?B?FE??BFE， 在矩形ABCD中，AD∥BC，??B?EF??BFE，
??B?FE??B?EF，
?B?F?B?E．?B?E?BF．
（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2?b2?c2． 证：连结BE，则BE?B?E．
由（1）知B?E?BF?c，?BE?c． 在△ABE中，?A?90，?AE2?AB2?BE2．
AE?a，AB?b，?a2?b2?c2．
（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a?b?c． 证：连结BE，则BE?B?E． 由（1）知B?E?BF?c，?BE?c． 在△ABE中，AE?AB?BE，
?a?b?c．
3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，
cosB?3，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上5方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。 【答案】3或5．
4.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论. 【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；
当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11． （2）两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝
11； 3③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11； ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13． 所以，点A出发后3秒、
11秒、11秒、13秒两圆相切． 35.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和
角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决． 【答案】（1）E(31)，；F(1，2)． （2）在Rt△EBF中，?B?90，
?EF?EB2?BF2?12?22?5．
设点P的坐标为(0，n)，其中n?0， 顶点F(1，2)，
?设抛物线解析式为y?a(x?1)2?2(a?0)．
①如图①，当EF?PF时，EF?PF，
22
?12?(n?2)2?5．
解得n1?0（舍去）；n2?4．
?P(0，4)．
?4?a(0?1)2?2．
解得a?2．
?抛物线的解析式为y?2(x?1)2?2
②如图②，当EP?FP时，EP?FP，
22
?(2?n)2?1?(1?n)2?9．
解得n??5（舍去）． 2③当EF?EP时，EP?5?3，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是y?2(x?1)?2． （3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小． 如图③，作点E关于x轴的对称点E?，
2
作点F关于y轴的对称点F?，连接E?F?，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
?E?(3，?1)，F?(?1，，2)NF?NF?，ME?ME?．
?BF??4，BE??3．
?FN?NM?ME?F?N?NM?ME??F?E??32?42?5．
又
EF?5，
?FN?NM?ME?EF?5?5，此时四边形MNFE的周长最小值是5?5．
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