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2019届中考数学分类讨论题专题复习精讲精练及答案 

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▼▼▼2019届数学中考复习资料▼▼▼

分类讨论题

中考专题复习精讲

类型之一 直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.

例1.(·沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )

A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80°

【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角,所以要分类讨论:(1)当50°角是顶角时,则(180°-50°)÷2=65°,所以另两角是65°、65°;(2)当50°角是底角时,则180°-50°×2=80°,所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°. 答案:D . 同步测试:

1.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为( ) A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm

2. (·江西省)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处, (1)求证:B′E=BF;

(2)设AE=a,AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.

类型之二 圆中的分类讨论

圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等. 例2.(?湖北罗田)在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4.若以C点为圆心, r为半径 所

0

作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是___ __.

【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切,此时r=2.4;2、圆与线段相交,点A在圆的内部,点B在圆的外部或在圆上,此时3<r≤4。 【答案】 3<r≤4或r=2.4 同步测试:

3.(上海市)在△ABC中,AB=AC=5,cosB?那么线段AO的长等于 .

3.如果圆O的半径为10,且经过点B、C,5

4.(?威海市)如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).

(1)试写出点A,B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式; (2)问点A出发后多少秒两圆相切?

类型之三 方程、函数中的分类讨论

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 例3.(·上海市)已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.

(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;

(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.

【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长,可假设线段的长,找到等量关系,列出方程求解。题中遇到“如果以A,N,D为顶点的三角形与,一定要注意分类讨论。 △BME相似”

【答案】(1)取AB中点H,联结MH,

1M为DE的中点,?MH∥BE,MH?(BE?AD).

2又

AB?BE,?MH?AB.

11ABMH,得y?x?2(x?0); 22?S△ABM?(2)由已知得.

以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,

?MH?即. 解得x?11AB?DE, 2244,即线段BE的长为; 33(3)由已知,以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似, 又易证得?DAM??EBM.

由此可知,另一对对应角相等有两种情况:①?ADN??BEM;②?ADB??BME. ①当?ADN??BEM时,

AD∥BE,

??ADN??DBE.??DBE??BEM. ?DB?DE,易得BE?2AD.得BE?8;

②当时,

AD∥BE,

??ADB??DBE.

??DBE??BME.又?BED??MEB,

?△BED∽△MEB.

?DEBE,即BE2?EMDE, ?BEEM12得x2?2?(x?4)222?(x?4)2.

2解得x1?2,(舍去).即线段BE的长为2. 综上所述,所求线段BE的长为8或2. 同步测试:

5.(·福州市)如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处. (1)直接写出点E、F的坐标;

(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三...角形,求该抛物线的解析式;

(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.

同步测试答案:

1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm,底边长是6cm时,由于3+3不能大于6所以组不成三角形;当腰长是6cm,地边长是3cm时能组成三角形. 【答案】D

2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知,B?F?BF,?B?FE??BFE,从而可求得B′E=BF;第(2)小题要注意分类讨论.

【答案】(1)证:由题意得B?F?BF,?B?FE??BFE, 在矩形ABCD中,AD∥BC,??B?EF??BFE,

??B?FE??B?EF,

?B?F?B?E.?B?E?BF.

(2)答:a,b,c三者关系不唯一,有两种可能情况: (ⅰ)a,b,c三者存在的关系是a2?b2?c2. 证:连结BE,则BE?B?E.

由(1)知B?E?BF?c,?BE?c. 在△ABE中,?A?90,?AE2?AB2?BE2.

AE?a,AB?b,?a2?b2?c2.

(ⅱ)a,b,c三者存在的关系是a?b?c. 证:连结BE,则BE?B?E. 由(1)知B?E?BF?c,?BE?c. 在△ABE中,AE?AB?BE,

?a?b?c.

3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5,

cosB?3,可得BC边上的高AD为4,圆O经过点B、C则O必在直线AD上,若O在BC上5方,则AO=3,若O在BC下方,则AO=5。 【答案】3或5.

4.【解析】在两圆相切的时候,可能是外切,也可能是内切,所以需要对两圆相切进行讨论. 【答案】解:(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;

当t>5.5时,函数表达式为d=2t -11. (2)两圆相切可分为如下四种情况:

①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+1+t,t=3; ②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,t=

11; 3③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11; ④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13. 所以,点A出发后3秒、

11秒、11秒、13秒两圆相切. 35.【解析】①解决翻折类问题,首先应注意翻折前后的两个图形是全等图,找出相等的边和

角.其次要注意对应点的连线被对称轴(折痕)垂直平分.结合这两个性质来解决.在运用分类讨论的方法解决问题时,关键在于正确的分类,因而应有一定的分类标准,如E为顶点、P为顶点、F为顶点.在分析题意时,也应注意一些关键的点或线段,借助这些关键点和线段来准确分类.这样才能做到不重不漏.③解决和最短之类的问题,常构建水泵站模型解决. 【答案】(1)E(31),;F(1,2). (2)在Rt△EBF中,?B?90,

?EF?EB2?BF2?12?22?5.

设点P的坐标为(0,n),其中n?0, 顶点F(1,2),

?设抛物线解析式为y?a(x?1)2?2(a?0).

①如图①,当EF?PF时,EF?PF,

22

?12?(n?2)2?5.

解得n1?0(舍去);n2?4.

?P(0,4).

?4?a(0?1)2?2.

解得a?2.

?抛物线的解析式为y?2(x?1)2?2

②如图②,当EP?FP时,EP?FP,

22

?(2?n)2?1?(1?n)2?9.

解得n??5(舍去). 2③当EF?EP时,EP?5?3,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线解析式是y?2(x?1)?2. (3)存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小. 如图③,作点E关于x轴的对称点E?,

2

作点F关于y轴的对称点F?,连接E?F?,分别与x轴、y轴交于点M,N,则点M,N就是所求点.

?E?(3,?1),F?(?1,,2)NF?NF?,ME?ME?.

?BF??4,BE??3.

?FN?NM?ME?F?N?NM?ME??F?E??32?42?5.

EF?5,

?FN?NM?ME?EF?5?5,此时四边形MNFE的周长最小值是5?5.

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