江西师范大学2008届学士学位毕业论文
例１ 解方程
dydx??x?xy?2xxy?y?4ydydx2332．
22解 原方程可以改写为
?x(?x?y?2)y(x?y?4)22，即
dydx22??x?y?2x?y?42222，
若令w?y2,v?x2，则方程化为 因为???1111dw?v?w2? ， (3.6) ?dv?v?w4??2?0，且c1,c2都不为零．解二元一次联立方程组
??v?w?2?0?v?w?4?0 ? ，
得解v?3,w?1．引进新变量V,W．作变换v?V?3,w?W?1， 将方程(3.6)化为齐次方程
dWdV?2?V?WV?W2，
?2arctanWV解之，得通解 V?W?ce代回变量v和w，得方程(3.6)的通解
，
(v?3)?(w?1)?ce最后代回原变量x和y，得原方程的通解为
(x?3)?(y?1)?ce2222?2arctany?1x?32222?2arw?1ctv?3，
an，其中c为任意常数．
用变量变换法求解微分方程是十分灵活的，依赖于方程的形式和求导的经验，在学习的过程中要多积累．下面再给出几个例子，以启发我们的思路． 3.1.2 其它类型
1。 形如yf(xy)dx?xg(xy)dy?0的方程
dudx?y?xdydu引入变量u?xy，则有 而原方程可化为
dydx??， (3.7)
yf(xy)xg(xy)ux，将其代入方程(3.7)并用新变量替换，可得一个
变量分离方程
dudx?(1?f(u)g(u))．
例２ 解方程x(2?x2y2)dy?y(2?x2y2)dx?0． 解 方程变形为
dydx?y(2?xy)x(2?xy)2222．
5
江西师范大学2008届学士学位毕业论文
令u?xy，则有
dudy4u， ?y?x?2dxdxx(2?u)2?u4u2变量分离得
du?1x2dx，
两边积分得 lnux2?1将u代回原变量，得 ln2。4yxu?c， ?14xy?c，其中c为任意常数．
22 形如x2dydx?f(xy)的方程
引入变量u?xy，则有
dudx?y?xdydx?y?xf(u)x2?2ux?f(u)x?u?f(u)x，这是一个变量分离方程．
例３ 解方程xdy?2xy?12dudx2dx．
解 令u?xy，则有
?y?xdydx?(u?1)2x2，这是一个关于u的变量分离方
程．分离变量，得 ?将u代回原变量，得
3。1u?112?12ln|x|?c1，
1xy?1??ln|x|?c，其中c为任意常数．
形如
dydx?xf(yx2)的方程
x?2dy若引入变量u?方程．
例４ 解方程
yx2，则有
dudxdx4x?2xy?f(u)?2ux，这是一个变量分离
dydx?xy?xx23．
dydx?x(yx2解 方程可化为如右形式
yx2?1)．
令u?，则有
dudxx?2dydx4x?2xy?u?1?2ux??u?1x，
变量分离，得 ?1u?1 du?ln|x1?|，c1cx，其中c为任意常数．
将u代回原变量，得原方程的通解y??x2?
6
江西师范大学2008届学士学位毕业论文
4。 形如
xdyydx?f(xy)的方程
引入变量u?xy，则有例５ 解方程
xdyydx?dudx?y?xdydx?u(1?f(u))x，这是一个变量分离方程．
xy?2xy．
u(1??u?2ux)?解 引入变量u?xy，则有
dudx?y?xdydx2(u?1)x，这是一个
变量分离方程．将方程分离变量并两边积分，得 u?cx2?1， 将原变量代入上式，整理后得原方程的通解为
y?cx?1x，其中c为任意常数．
还有很多，这里我们就不再介绍了．
5 小结
该文到此已基本完成，现在我们做一下小结．
本文主要讲述的是用变量变换的方法来探讨常微分方程的求解．所以，我们先介绍了常微分方程的一些基本概念（主要是为后面的讲述作铺垫）和简单说明了变量变换方法在微分方程中的广泛运用．
接着把常微分方程分为一阶和高阶两类，再分别探讨变量变换方法在这两类方程中的应用．其中一阶中主要有变量分离方程、线性方程、隐方程这几类．而高阶方程中，先是介绍了两类二阶方程，然后介绍了高阶微分方程中的非齐线性方程和欧拉方程，最后是几类可降阶的高阶方程．主要内容就是这些．
至于变量变换方法的灵活运用，只能靠我们平时慢慢地积累、练习和不断地摸索与总结的．这里我们大概地总结了常微分方程中一些能够用变量变换方法求
7
江西师范大学2008届学士学位毕业论文
解的类型，不过还有其他类型，若大家有兴趣的话还可以再深入地讨论．
参考文献：
[1]蔡燧林．微分方程[M]．杭州：浙江大学出版社，1998．
[2]丁同仁，李承治．常微分方程教程[M]．北京：高等教育出版社，1991． [3]东北师范大学数学系微分方程教研室．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1982．
[4]高素志，马遵路，曾昭著，陈平尚． 常微分方程[M]．北京：北京师范大学出版社，1988．
[5]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1983．
[6]王兴涛．常微分方程[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003． [7]王树禾．微分方程模型与混沌[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，1999． [8]魏俊杰，潘家齐，蒋达清．常微分方程（专生本）[M]．北京：高等教育出版社，2003．
[9]西南师范大学数学与财经学院．常微分方程[M]．重庆：西南师范大学出版社，2005．
[10]周义仓，秦军林．常微分方程及其应用－方法、理论、建模、计算机[M]．北京：科学出版社，2003.
[11]J. K. Hale, Ordinary Differential Equations [M]. New York: Wiley, 1969.
致谢
经过几翻修改，这篇论文终于能够顺利完成．在这里我要感谢龙薇老师对我悉心、不知疲倦地教导，我衷心地祝愿老师及家人身体健康，工作顺利!
8
相关推荐：
loading