2013高考数学二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教
学案(学生版)
【2013考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
???,???的正弦、余弦、正切的诱导公式;2sinx22
理解同角的三角函数的基本关系式:sinx+cosx=1,?tanx.
cosx2.能利用单位圆中的三角函数线推导出
3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2?]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-
??,)内的单调性. 224.了解函数y?Asin(?x??)的物理意义;能画出y?Asin(?x??)的图象,了解
A,?,?对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运用上述公式进行简单的恒等变换 【知识网络构建】
【重点知识整合】
一、三角恒等变换与三角函数
1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
1
(1)方程思想:sin??cos?, sin??cos?,sin?cos?三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: sin??cos??1; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切;
(4)角的替换:2??(???)?(???),??(???)???(5)公式变形:cos2??22???2????2;
1?cos2?1?cos2?, sin2??, 22tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?);
(6)构造辅助角(以特殊角为主):
basin??bcos??a2?b2sin(???)(tan??).
a二、解三角形
1.正弦定理
已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,则===2R(R为
sinAsinBsinC三角形外接圆的半径).
2.余弦定理
已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,则a=b+c-2bccosA,cosA2
2
2
abcb2+c2-a2=,另外两个同样.
2bc3.面积公式
已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,则
2
1
(1)三角形的面积等于底乘以高的;
2
111abc(2)S=absinC=bcsinA=acsinB=(其中R为该三角形外接圆的半径);
2224R1
(3)若三角形内切圆的半径是r,则三角形的面积S=(a+b+c)r;
2(4)若p=
a+b+c2
,则三角形的面积S=pp-ap-bp-c.
【高频考点突破】
【变式探究】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=
( )
4D. 5
433
A.- B.- C.
555
【方法技巧】1.用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单;
2.同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.
考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间:
y=sinx的递增区间是[2kπ-,2kπ+](k∈Z),递减区间是[2kπ+,2kπ+
3π
](k∈Z); 2
π2π2π2
y=cosx的递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),
递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的递增区间是(kπ-,kπ+)(k∈Z).
3
π2π2
例2、已知a=(sinx,-cosx),b=(cosx,3cosx),函数f(x)=a·b+(1)求f(x)的最小正周期,并求其图像对称中心的坐标; π
(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.
2
3. 2
π
【变式探究】已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R
6π
恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是
2
( )
πππ
A.[kπ-,kπ+](k∈Z) B.[kπ,kπ+](k∈Z)
362π2ππ
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ-,kπ](k∈Z)
632
考点三 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
函数y=Asin(ωx+φ)的图像: (1)“五点法”作图:
π3π
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的
22
y的值,描点、连线可得.
(2)图像变换:
向左φ>0或向右φ<0y=sinx ―――――――――→平移|φ|个单位
y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
纵坐标变为原来的AA>0倍
――――――――――→
横坐标不变
y=Asin(ωx+φ).
π
例3、已知函数f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图像经过点(0,1),
2
4
如图所示.
(1)求f1(x)的表达式;
π
(2)将函数f1(x)的图像向右平移个单位长度得到函数f2(x)的图像,求y=f1(x)+
4
f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的集合.
π
【变式探究】已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图像如
2π
图,则f()=
24
( )
3
3
D.2-3
A.2+3 B.3 C.
考点四 三角变换及求值 三角函数求值有以下类型:
(1)“给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等变 换求三角函数式的值;
(2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的 其他三角函数式的值;
(3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角. 1π
例1、已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R.
36
5
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