高等数学教材

这个关系式的几何解释如下图：

现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，即：

，那末就称函数

函数连续性的定义： 设函数

在点x0的某个邻域内有定义，如果有

的连续点.

在区间(a,b]

称函数

在点

在点x0处连续。

x0处连续，且称x0为函数的

下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数

内有定义，如果左极限在点b左连续.设函数

=

存在且等于，即：=，那末我们就称函数存在且等于

，即：

在区间[a,b)内有定义，如果右极限

在点a右连续.

，那末我们就称函数

一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续. 注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。

通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点

函数的间断点

定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形：

a)：

在x0无定义；

b)：在x→x0时无极限；

c)：在x→x0时有极限但不等于；

下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：

例1： 正切函数在处没有定义，所以点是函数的间断点，因

，我们就称为函数的无穷间断点；

例2：函数在点x=0处没有定义；故当x→0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，我

们就称点x=0叫做函数的振荡间断点；

例3：函数当x→0时，左极限，右极限，从

这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:

间断点的分类

我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数函数

的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为

的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. 可去间断点 若x0是函数

的间断点，但极限

不存在或者是存在但

存在，那末x0是函数

≠

。我们令

的第一类间断点。此时函

，则

数不连续原因是：可使函数

在点x0处连续，故这种间断点x0称为可去间断点。

连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质

函数的和、积、商的连续性

我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论： a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数； b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；

c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)； 反函数的连续性 若函数

在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数

也在对应的区间

上单调增(单调减)且连续

例：函数在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间[-1,1]

上也是单调增且连续的。

复合函数的连续性 设函数连续，那末复合函数

当x→x0时的极限存在且等于a，即：

当x→x0时的极限也存在且等于

.而函数.即：

在点u=a

例题：求

解答：

注：函数

连续，因此可得出上述结论。

设函数

可看作与复合而成，且函数在点u=e

在点x=x0连续，且

在点x=x0也是连续的

，而函数在点u=u0连续，那末复合函数

初等函数的连续性

通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.

闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：

最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明)

例：函数y=sinx在闭区间[0，2π]上连续，则在点x=π/2处，它的函数值为1，且大于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值；则在点x=3π/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间[0，2π]上其它各点出的函

数值。

介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：

，μ在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使

推论： 在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。

二、导数与微分 导数的概念

在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，

，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增

量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此

段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质

点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度

=

导数的定义：设函数

为此就产生了导数的定义，如下：

在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也

在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存

在，则称这个极限值为

函数

在x0处的导数。记为：还可记为：， 在区间(a,b)

在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数

内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确

的

定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数导函数。

注：导数也就是差商的极限

左、右导数

前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限

存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。若极限存在，我们就称它为

函数

注：函数

在x=x0处的右导数。

在x0处的左右导数存在且相等是函数

在x0处的可导的充分必要条件

函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则

法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：

。其中u、v为可导函数。

例题：已知，求

解答：

例题：已知，求

解答：

函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则

法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：

例题：已知解答：

函数的积的求导法则

，求

法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：

例题：已知，求

解答：

注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。