第15讲 开普勒定律 万有引力定律
考情 剖析
1．开普勒定律、万有引力定律一般与天体运动和圆周运动结合综合考查、较少单独出现，但作为基本知识需要了解掌握．
2．预测14年高考中单独考查的可能性很小．
知识 整合
知识网络
开普勒定律万有引力定律两质点
之间
基础自测
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律又称轨道定律，它指出： 所有行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上．远日点是指________，近日点是指________．不同行星的椭圆轨道是不同的，太阳处在这些椭圆的一个公共焦点上．
2．开普勒第二定律又称面积定律．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．所以行星在离太阳比较近时，运动速度________．行星在离太阳较远时，运动速度________．
3．开普勒第三定律又称周期定律，内容是： 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．该定律的数学表达式是： ________.
4．开普勒行星运动定律，不仅适用于行星，也适用于其他卫星的运动．研究行星运动时，开普勒第三定律中的常量k与________有关，研究月球、人造地球卫星运动时，k与________有关．
二、万有引力定律
1．万有引力定律的内容是： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．其数学表达式是________．万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律．
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三大定律轨道定律周期定律面积定律公式
GMmF＝2
r适用条件
2．卡文迪许扭秤实验证明了万有引力的存在及正确性，并使得万有引力定律可以定量计算，引力常量G＝________.
3．万有引力定律的应用 计算中心天体的质量、密度
若已知一个近地卫星(离地高度忽略，运动半径等于地球半径R)的运行周期是T.有： Mm4π2mR4
G2＝2，解得地球质量为________；由于地球的体积为V＝πR3可以计算地球的RT3
密度为： ________.当然同样的道理可以根据某行星绕太阳的运动计算太阳的质量．
随堂 演练
1．地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．冬至这天地球离太阳最近，夏至最远．下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是( )
A．地球公转速度是不变的 B．冬至这天地球公转速度大 C．夏至这天地球公转速度大 D．无法确定
第2题图
2．某次，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
3．2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量( )
A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径 B．该行星的自转周期与星体的半径
C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径 D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度
4．一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
v3T A．恒星的质量为 2πG
2
4πv B．行星的质量为2
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GT C．行星运动的轨道半径为
vT2π
2πv D．行星运动的加速度为
T5．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展．假设哈勃天文望远镜沿圆轨道绕地球运
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行．已知地球半径约为6.4×10m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×10m这一数据可得到哈勃天文望远镜绕地球运行的周期．以下数据中最接近其运行周期的是( )
A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时
6．1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，你估算出( )
gR2
A．地球的质量m地＝
G4πL2
B．太阳的质量m太＝2
23
GT2
234πL1
C．月球的质量m月＝
GT21
D．可求月球、地球及太阳的密度
7．2011年9月29日晚21时16分，我国将首个目标飞行器天宫一号发射升空，它将在两年内分别与神舟八号、神舟九号、神舟十号飞船对接，
第7题图
从而建立我国第一个空间实验室．假设T代表天宫一号，S代表“神舟八号”，它们绕地球做匀速圆周运动轨道如图所示，则( )
A．T的周期大于S的周期 B．T的速率大于S的速率
C．T的向心加速度大于S的向心加速度 D．S须加速后才能与T实现对接
8．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响． (1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
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第15讲 开普勒定律
万有引力定律
知识整合 基础自测 一、1.离太阳所在焦点较远的长轴端点 离太阳所在焦点较近的长轴端点 2.大 小 a
3.2＝k 4.太阳质量 地球质量 T
m1m24πR3π－1122
二、1.F＝G2 2.6.67×10N·m/kg 3.M＝2 ρ＝2
rGTGT
随堂演练
1.B 【解析】 冬至地球与太阳的连线短，夏至长．根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过的面积相等，则在相等的时间内冬至时地球运动的路径就要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至的速度大，答案选B.
2.ABC 【解析】 逐项判断根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，AR
正确；由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，所以B正确；根据开普勒定律，2＝k，R2 TGM C正确；根据a＝2，应相等，D错误． R 3.CD 【解析】 由万有引力定律和牛顿第二定律卫星绕中心天体运动的向心力由中Mmv4π2 心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得G2＝m＝mrω＝mr2；若已知卫星 rrTrv 的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度ω或线速度v，可求得中心天体的质量为M＝ G4πrωr＝，所以选项CD正确． 2＝GTG 2πrvTMm4πvT 4.ACD 【解析】由v＝得到r＝，C正确；根据F＝G2＝m2r及r＝得 T2πrT2πvTvvT M＝，A正确；根据a＝及r＝得知D正确，故本题答案选ACD. 2πGr2π 5.B 【解析】 哈勃天文望远镜绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r1＝R＋6×10m 67 ＝7.0×10m，地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r2＝R＋3.6×10m＝ 72 4.24×10m.已知地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T2＝24h，由开普勒第三定律T1 233 /T2＝r1/r2可知哈勃天文望远镜绕地球做匀速圆周运动的周期大约为1.6h.所以正确选项为B. GMmgRGm太·m地4π 6.AB 【解析】 由mg＝2得m地＝，A对；地球绕太阳转，由＝m地·2·L22 RGL2T2 4πL2 得m太＝2，B对；用万有引力公式只能计算中心天体的质量，所以C错；根据题中的已 GT2知量，只能求出地球的密度，D错． 7.AD 【解析】 本题考查用圆周运动动力学条件研究天体运动及分析能力，根据万Mmv2π2 有引力提供圆周运动的向心力有G2＝m＝mr()可知v＝rrT 2 23 2 2 5 3 2 2 23 23 2 2 2 3 23 3 GM ，T＝r4πr ，故A正GM 23 M 确，B错误；同理，它们的向心加速度a＝G2，可知C错误；S在低轨加速后做离心运动， r 4 达到T的轨道，才能对接，故D正确． 8.见解析 【解析】(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足Mmv1Mm2 G2＝mg，得GM＝Rg ①，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力m＝G2 ②，RRR①式代入②式，得到v1＝Rg. (2)考虑①式，卫星受到的万有引力为F＝GmgR4π2π 2，由牛顿第二定律F＝m2(R＋h)，③④式联立解得T＝ （R＋h）TR 2 2 2 Mm 2＝ （R＋h） 3（R＋h） . g 5
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