+2alnx
.?? 10 分
,(x>0), 由题意知 x1,x2 是 x2+2ax+1=0 的两根，
∴x1x2=1, x 1+x 2=－ 2a,x2=,2a=
,
G(x 1)-G(x 2)=G(x 1)-G( 令 H (x)=2[
)= 2[
]
], H (x)=2(
＇
)lnx=
当
时， H/(x) <0, H(x) 在 上单调递减， H(x) 的最小值为
即 G(x 1)-G(x 2) 的最小值为
???? 16分
62.
解：（ 1） f (x)
2x
f (1)
1 2
, f (1)
ln 4 ，所以所求切线方程为
x2 3
y ln 4
1
2
( x 1)
x
2
2 y 4ln 2 1
0
（ 2） g ( x)
2x
2
2x2x(
2
1
x) ，令 (x)
2
1 a
x ，
x
2
1
x a
x
( x)
2x
0 则 ( x) 在 (0,
) 上为减函数 .
( x2 a) 2 (0) 1
a
0 ， ( 1 )
a
1
a 2
a
1
1 a
0 ，所以
( x)
x
2
1
a
x 在 (0, 1 ) 上有唯一零
a
22
----- ----
点. 所以
( x)
1 x2
a
x 在 (0,
) 上有唯一零点 .
所以 g( x) 在区间 (0, （ 3） h(x)
) 上有唯一极值点 .
| xk 1
1 ， x1 0 ， x 1 ， x 9 ， | x x | 1 ， x (0, ]
2 3 3 2 k 2
x 3 3 28 84 2
x
(xk xk 1 ) | xk k 1 | 1 1 1
xk | | 2 | 2 | xk xk 1 | 2 2
(xk 3)( xk 1 3) 9 xk 3 xk 1 3 ( ) | xk 1 xk 2 |
9
xk | | xm k
1
12
k 2( ) | x3
1x2 |
1 (1)k 2 84 9
9
1 9k xk |
又 | xm k xm k 1 | | xm k 1 xm k 2 | | xk 1
1 ( )m
1
1 9
1
1
k 1 (
1
)
m
19
9
9
1
k
9k 1
9k m 1
1 1
9
8 9
k 1
8 9k 1
.
63.见解析．
（ 1 ）因为关于 x 的不等式 f ( x) (2 m 1)x
1 m2 的解集为 ( m, m
1) ，
即不等式 x2 ( a 1 2m) x m2 m 0 的解集为 ( m, m 1) ， 所以 x2 所以 x2 所以 a 1
(a (a
1 2m)x m2
m ( x m)( x m 1) ，
1 2m)x m2 m x2
(2 m 1)x 2 ．
m(m 1) ，
2m (2m 1) ，所以 a
f ( x) x 1
（ 2 ）由（ 1 ）得 g (x)
x2 2 x m x 1
1 (x 1)
m ， x
1
所以 ( x)
g (x) k ln( x 1) (x 1)
m x 1
k (x 1) 的定义域为 (1,
) ，
2
所以
( x) 1
m (x 1)2
k x
1
x (2 k) x k m 1
(x 1)2
，
方程 x2
(2 k)x k m 1 0 （ * ）的判别式 m 1)
k2
4m ．
(2 k )2 4(k
0 时，
①当 m
0 ，方程（ * ）的两个实根为
x1
2 k
k 2 2
4m
1 ，
x2
2 k
k2 4m 2
1 ，
则 x (1,x2 ) 时， ( x) 所以函数
0 ； x (x2 , ) 时， ( x2 ,
( x) 0 ，
(x) 在 (1,x2 ) 上单调递减，在 ) 上单调递增，所以函数 (x) 有极小值点
23
----- ----
x2 ．
② 当 m 0 时，由
2 k k 2
则
0 ，得 k 4m
，1
2 m
2 k
或 k 2 k2 2
m ，若 k
2 m ，
4m
x1
2
x2
1 ，故 x (1,
) 时，
(x)
0 ，
所以函数 (x) 在 (1,
) 上单调递增．所以函数
( x) 没有极值点，
2
2
若 k 2
m 时， x1 2 k
k
2
4m 1 ， x2 2 k
k 2
4m
1 ，
则 x (1,x1 ) 时， (x)
0 ；
x
(x1 , x2 ) 时， (x)
0 ； x
( x2 ,
) 时，
(x) 0 ，
所以函数 (x) 在 (1,x1 ) 上单调递增，在 (x1 , x2 ) 上单调递减，在 ( x2 , 所以函数 (x) 有极小值点 x2 ，有极大值点 综上所述，当 m 当 m 0 时， k （其中 x1
) 上单调递增，
x1 ，
0 时， k 取任意实数，函数 2
( x) 有极小值点 x2 ，
m ，函数 ( x) 有极小值点 x2 ，有极大值点 x1 ，
k 2 2
2 k
4m
， x
2
2
k
k2 2
4m ）．
（ 3）因为 m
n
1 ， 所以 g ( x) ( x 1)
1 n 1
1
2
1
1 ， x 1
n 2
n 1
2 n
n 1 n 2
所以 x
Cn x
1 x
Cn x
2 n 2
Cn x
Cn x
2 n 4
Cn
x ，
x
2 4 n
令 T C1n xn 2
n 1 2 n
Cn2 xn 4
n 2 4 n
Cnn 1 x2 n ，
1 n 2
1 2 n
则 T Cn x 因为 x
Cn x
Cn x
n
Cn x
Cn x
n
Cn x
，
0 ，所以
2T C1n ( xn 2
x2 n ) Cn2 ( xn 4 x4 Cn2 +
)
Cnn 1( x2 xn 2 )
2(C1n
Cn2
Cnn
1)
2(C n0 C1n Cnn
1
Cnn Cn0 Cnn ) 2(2n 2) ，
1)≥ 2n
所以 T ≥ 2n
2 ，即 [ g( x
1)]n g (xn
2 ．
64.
（1） a 2e ， b （2）令 h x
1 ．（过程略）
f x
g x ln x e a x e a ，则 h x
1 x
e a ，
当 a ∴ x 当 a
e时， h x 1,
单调递增，而 h 1 0 ，
时， h
x 0 不合题意 0 ，则 x
1 ， a e
e时，令 h x
24
-----
loading