19.（本题满分12分） 如图，且
，
．
求得函数的减区间，的外接圆
的半径为，
求得增区间.
所在的平面，
，
，
，
（1）求证：平面ADC平面BCDE．
（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在， 确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案详见解析；（2）存在，且． 【解析】 试题分析：（1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，易得BE⊥平面ABC，则BE⊥AB，由BE=1，，易得AB是⊙O的直径，则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；（2）方法一：过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，我们可以构造关于x的方程，解方程即可求出x值，进而得到点M的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量（含参数λ），由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M的位置． 试题解析：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD ∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB ∵BE=1，从而
∴
，
∵⊙的半径为，∴AB是直径， ∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD
平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE
（2）方法1：
假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF ∵平面ADC平面BCDE，
∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x，计算易得，DN=，MF=故
解得：（舍去），…11分
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故，从而满足条件的点存在，且
方法2：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，
则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则易知平面ABC的法向量为
，假设M点存在，设
，则
，再设
，
即，从而…10分 设直线BM与平面ABD所成的角为，则：
解得，其中应舍去，而
考点：1、面面垂直的判定；2、直线和平面所成的角． 20.已知等比数列
） （1）求数列（2）若数列【答案】（1）【解析】（1）由的通项公式,由
，满足
，
；（2），
，利用累加法可得，两式相减化为，
等比数列求和公式可得结果. 【详解】（1）设由已知由已知所以 因为可得
，即的通项公式为，
,
（
. ，
）， ，累加可得
.
的通项公式为
，
，解得
，
，得，
，
， ，
的通项公式；
，
.
，得
，由已知
，解得时，由，
，从而可得
，
，求
的前项和.
满足条件
，
，
故满足条件的点M存在，且点M的坐标为
，数列
满足
，
（
，
的通项公式；（2）当
，
，利用错位相减法，结合
- 7 -
（2）当当
时，
时，，，
①， ②，
由①-②得到综上，
，，
.
，，
③， ④，
由③-④得到所以
21.如图，过抛物线
.
.
（
）上一点
，作两条直线分别交抛物线于点，，若
与
的斜率满足，
（1）证明：直线的斜率为定值，并求出该定值； （2）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析，【解析】 【分析】 （1）由抛物线
（
）过点
；（2）
.
，求得，设，，由，得到，
利用点差法可得（）=，从而可得结果；（2）设直线的方程为，联立直
线方程与抛物线方程可得，，利用点到直线距离公式、弦长公式，由三角形面积公式可得
，利用导数研究函数的单调性，由单调性可得三角形面积的最大值.
【详解】（1）由抛物线设因为
，，
，因为
（）过点，所以
，得，即.
.
，代入上式得到
，
，
通分整理得
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设直线的斜率为，由
）=
，，
两式相减可化为得由于（2）设直线
（
.
.
，
，将其代入上式得的方程为
由得因为所以又点到直线所以令则由当
时，
，
，
，所以
，且
.
的距离为
， .
，其中
，
，
，所以
单调递减；当
，
，所以
单调递增，故
的最大值为
，
，
，
故的面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 22.已知函数有两个极值点（1）求的取值范围； （2）求证：【答案】（1）【解析】（1）当
时，
，所以
当时，所以当时，因为函数
。
；（2）见解析
，设在
，所以在取得最小值
，则单调递减， 单调递增， ，
有两个零点，
， 。
有两个极值点，所以函数
- 9 -
所以设因为所以所以
时，
，所以，则
；在，即
， 时，，
，此时，
；
，
上单调递减，在单调递增，
，即
，
所以
综上可得的取值范围是（2）由（1）知且所以
时，
是方程
。 的两根，所以，所以
是
， 上的减函数，
，
因为所以
，所以，即
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