第一节 函数及其表示
1．函数的概念 (1)定义：
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(5)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
[小题体验]
1．(2019·无锡一中期中测试)函数f(x)＝ln(x－x)的定义域为________． 解析：由题意知，x－x＞0，即x＜0或x＞1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
2．已知f(x)＝x－1，则f(2)＝________. 解析：令x＝2，则x＝4，所以f(2)＝3. 答案：3
??2＋log3x，x＞0，
3．(2019·海头高级中学高三期中)若函数f(x)＝?
?3－log2－x，x＜0，?
2
2
则f(3)
＋f(－2)＝________.
答案：5
1
??3，x≤1，
4．已知函数f(x)＝?
?－x，x＞1.?
xx
若f(x)＝2，则x＝________.
解析：依题意得当x≤1时，3＝2，所以x＝log32； 当x＞1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32. 答案：log32
1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．
2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
[小题纠偏]
??2－2，x≤1，
1．(2019·常州一中检测)若函数f(x)＝?
??log2x－1，x＞1，
x
5????则f?f???＝
??2??
________.
53?5?解析：因为＞1，所以f??＝log2， 22?2?
31??5??log2又因为log2＜1，所以f?f???＝22－2＝－.
22??2??1
答案：－
2
3?1?3
2．(2018·苏州中学测试)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f??＝＋1，
?x?x则函数f(x)的解析式为________．
1?1?3
解析：用代替3f(x)＋5f??＝＋1中的x，
x?x?x?1?得3f??＋5f(x)＝3x＋1， x??
?1?3
3fx＋5f??＝＋1， ①???x?x所以?
?1?＋5fx＝3x＋1， ②3f?????x?
1591
②×5－①×3得f(x)＝x－＋(x≠0)．
1616x81591
答案：f(x)＝x－＋(x≠0)
1616x8
2
考点一 函数的定义域
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2018·常州期末)函数y＝1－x＋lg(x＋2)的定义域为________．
??1－x≥0，
解析：由题意可得?
?x＋2＞0，?
解得－2＜x≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．
答案：(－2,1]
1－x2．(2018·南通中学高三测试)函数y＝2的定义域为________________．
2x－3x－2
2
??1－x≥0，1－x解析：由函数y＝2得?2
2x－3x－2??2x－3x－2≠0，
2
2
－1≤x≤1，??
解得?1
x≠2且x≠－，?2?
1
即－1≤x≤1且x≠－，
2
1??1??所以所求函数的定义域为?－1，－?∪?－，1?. 2??2??1??1??答案：?－1，－?∪?－，1?
2??2??
3．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝
fx＋1
的定义域是________．
x－1
解析：令t＝x＋1，由已知函数的定义域为[1,2 019]，可知1≤t≤2 019.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 019，解得0≤x≤2 018，故函数f(x＋1)的定义域为[0，2
??0≤x≤2 018，018]．所以使函数g(x)有意义的条件是?
??x－1≠0，
解得0≤x＜1或1＜x≤2 018.
故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2 018]．
答案：[0,1)∪(1,2 018]
4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数f(x)＝________．
3
解析：由题意得log1 (2x－3)≥0?0＜2x－3≤1?＜x≤2，即函数f(x)的定义域是
2
2log122x－3的定义域是
?3，2?. ?2???
?3?答案：?，2?
?2?
3
[谨记通法]
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式
a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
考点二 求函数的解析式
重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
?1?21
(2)已知f?x＋?＝x＋2，求f(x)的解析式；
?
x?
x?2?(3)已知f?＋1?＝lg x，求f(x)的解析式；
?x?
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2，求f(x)的解析式；
(5)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解：(1)(待定系数法)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)＋b(x＋1)＝ax＋bx＋x＋1， 即ax＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax＋(b＋1)x＋1，
??2a＋b＝b＋1，
所以?
?a＋b＝1，?
2
2
2
2
22
x
1
解得a＝b＝. 2
121
所以f(x)＝x＋x，x∈R.
22
?1?21?1?2
(2)(配凑法)由于f?x＋?＝x＋2＝?x＋?－2，
?
x?
x?x?
所以f(x)＝x－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x－2，x≥2或x≤－2.
222
(3)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，
xt－1t－1又x＞0，所以t＞1，
2
2
4
相关推荐：
loading