2017最简三角方程教案 doc

解二 降次得 化简得

1?cos2x31?cos2x?sin2x??0， 2323sin2x?cos2x?0． 3 因为cos2x?0（使cos2x?0的x的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos2x，得tan2x??3． 由tan2x??3，得 2x?k??,k?Z，即x?3?k???,k?Z． 26所以原方程的解集为?xx???k????,k?Z?． 26?[说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k是偶数2n时，

k???k????变成n??；当k是奇数2n+1时，?变成n??，266263所以实质上?xx?k??,或x?k??,k?Z?与?xx??36???????k????,k?Z?是相等26?的集合． 解三 降次得 化简得 1?cos2x31?cos2x?sin2x??0， 2323sin2x?cos2x?0， 3 即 sin(2x?)?0，

3? 得 2x??3?k?,k?Z，即x?k???,k?Z． 26所以原方程的解集为?xx???k????,k?Z?． 26?[说明]一般说来，对于形如asinx?bcosx?c的三角方程，可先在方程的两边都除以a2?b2，然后引入辅助角，原方程变形为

sin(x??)?

ca?b22．当ca?b22?1时，方程有解．

例3、若方程cos2x?2sinx?m?1?0存在实数解，求m的取值范围． 解一 由原方程，得 2sin2x?2sinx?m?0，

即 sin2x?sinx?m?0 2解这个以sinx为未知数的一元二次方程，因为?1?sinx?1

m???1?4?(?)?0??2要使方程有解，只需?

m?1?1??0??2解得??m?4．

?所以m的取值范围为?． ?,4???2?112[说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sinx为未知数的一元二次方程的??0，而且必须考虑sinx的值在??1,1?内．

解二 由原方程得 2sin2x?2sinx?m?0，

得m?2sin2x?2sinx?2(sinx?)2? 因为?1?sinx?1，所以??m?4．

?所以m的取值范围为?． ?,4??2??1121212[说明] 当方程sinx?t(t为常数）有解时，必须满足t?1，则原题就转化为求

11m?2(t?)2?,t???1,1?的最大值、最小值问题．

223．问题拓展

例4、求方程sin2x?cos(??x)的解集． 解一 由原方程得2sinx?cosx??cosx，

得 cosx?0，sinx??．

?由cosx?0，得解集为??xx?k??,k?Z?；

?2?112?由sinx??，得解集为?xx?k??(?1)K2??????,k?Z?． 6?所以原方程的解集为?xx?k??或x?k??(?1)K2???,k?Z?． 6?解二 由原方程得sin2x?－cosx， 即sin2x?sin( 得2x?2k??3??x) 23?3??x或2x?2k????(?x)， 223?2k???，k?Z． 即x?2k??或x?236所以原方程的解集为?xx?2k????3?2k???或x??,k?Z?． 236?解三 由原方程得sin2x?－cosx， 即cos(?2x)?cosx

2? 得2x??2?2k??x或2x??2?2k??x，

即x?2k??或x?2?2k???，k?Z． 36所以原方程的解集为?xx?2k??或x??2??2k????,k?Z?． 36?[说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．

（1）sin??sin?，则??2k???或??2k?????,k?Z； （2）cos??cos?，则??2k???或??2k???,k?Z；

（3）tan??tan?，则??k???,k?Z． 三、巩固练习

1、解下列方程的解集： （1）2sin2x?3cosx?3?0； （2）8sin2x?5sin2x?1．

2、关于x的方程sin2x?cosx?k?0有实数解,求实数k的取值范围. 3、求方程cos(?sinx)?的解集． 4、已知函数f(x)?sin4?4cos2（1）化简f(x)，并求f(x2xxx?cos4?4sin2， 2221225?)； 6（2）若0????，f(?)?f()?0，求?．

2?四、课堂小结

本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。掌握基本方法与合理选用公式和变换方法是本节课的重点．含有字母三角方程的实数解讨论是本节课的难点． 五、作业布置 略