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由题设
AG?AE2?GE2?6a3 6∵ △AOF∽△AEG Ra?R∴
?363，得R?a 6a3122a6a?2R?r∵ △AO1H∽△AOF ∴ 3?r，得r?6a6R24 3a?R3∴ V?43?r3?43???6??a??6a3球O1 ?24??1728
点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。 题型10：球的经纬度、球面距离问题
例19．（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km）
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（2）在半径为13cm的球面上有A,B,C三点，AB?BC?AC?12cm，求球心到经过这三点的截面的距离。
解：（1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半径， ∴OK?AK，
设C是北纬40的纬线长，
∵?AOB??OAK?40，
∴C?2??AK?2??OA?cos?OAK?2??OA?cos40
?2?3.14?6370?0.7660?3.066?104(km)
答：北纬40纬线长约等于3.066?10km． （2）解：设经过A,B,C三点的截面为⊙O?， 设球心为O，连结OO?，则OO??平面ABC，
4∵AO??32?12??43， 23∴OO??OA2?OA?2?11， 所以，球心到截面距离为11cm．
例16．在北纬45圈上有A,B两点，设该纬度圈上A,B两点的劣弧长为的球面距离。
2?R（R为地球半径），求A,B两点间4学习必备 欢迎下载
解：设北纬45圈的半径为r，则r?2R，设O?为北纬45圈的圆心，?AO'B??， 4∴?r?222?R，∴R???R， 424，∴AB?∴???22r?R，
∴?ABC中，?AOB??3，
所以，A,B两点的球面距离等于
?3R．
点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。 （2008广东文18） （本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，?ABD?60,?BDC?45,?ADP~?BAD。
（1）求线段PD的长；
（2）若PC?11R，求三棱锥P-ABC的体积。
【解析】（1）
BD是圆的直径 ? ?BAD?90 又 ADP~BA, DADDPAD2?BDsin60???,DP??BAADBA?BDsin30?234?3R ; ?12R?24R2?2R
(2 ) 在RtBCD中，CD?BDcos45?
PD?CD?922222?PD?CDR?2R?11R?P C 又?PDA?90
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?PD?底面ABCD
SABC1?ABBCsin??60214?R?521S3?32R??222??1312?2???2??321R 4三棱锥P?ABC的体积为VP?ABC?ABCPD?3?123?13R3R?R . 44
五．思维总结
1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积：S全?3a2；
V?(2)体积：
23a； 12(3)对棱中点连线段的长：d?2a； 2(4)内切球半径：r=r?6a； 126a； 4(5)外接球半径：R?(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：
如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。
则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
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②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V=
1abc； 6④底面△ABC=
2
12a2b2?b2c2?c2a2；
⑤S△ABC=S△BHC·S△ABC； ⑥S△BOC=S△AOB+S△AOC=S△ABC
2
2
2
2
⑦
1111=+2+2; 22OHabc12⑧外切球半径 R=
a2?b2?c2；
⑨内切球半径 r=
S?AOB?S?BOC-S?ABC
a?b?c3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则
?h?sin??cos??2l?cos??sin??r ??2l????90?2?
②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。
③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
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