设h为点M到平面ADN的距离，则h＝AF＝x， 113
∴VM－ADN＝×S△ADN×h＝×3x2×x＝x3，
333∵VM－ADN＝VA－DMN＝
3
，∴x＝1. 3
∴MN＝AN2＋AM2＝5.
思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a.
跟踪演练2 (2017·北京市海淀区适应性考试)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3， E是侧棱PA上的动点．
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
(3)是否无论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论． (1)解 ∵PA⊥平面ABCD，
113∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×12×3＝，
333即四棱锥P－ABCD的体积为
3
. 3
(2)证明 连接AC交BD于O，连接OE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴O是AC的中点，
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE， ∵PC?平面BDE, OE?平面BDE， ∴PC∥平面BDE.
(3)解 无论点E在任何位置，都有BD⊥CE. 证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PA， 又∵AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC， ∴BD⊥平面PAC.
∵无论点E在任何位置，都有CE?平面PAC， ∴无论点E在任何位置，都有BD⊥CE. 热点三 平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．
例3 (2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE中， ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P－ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若四棱锥P－ABCD的体积为23，求四面体BCDM的体积．
1(1)证明 取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示，则MN∥CD，MN＝CD.
2
1
又AB∥CD，AB＝CD，∴MN∥AB且MN＝AB，
2∴四边形ABMN为平行四边形，∴AN∥BM， 又BM⊥平面PCD， ∴AN⊥平面PCD， ∴AN⊥PD，AN⊥CD.
由ED＝EA，即PD＝PA及N为PD的中点，可得△PAD为等边三角形， ∴∠PDA＝60°，又∠EDC＝150°， ∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AD， 又AN∩AD＝A，AN?平面PAD， AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又∵CD?平面ABCD， ∴平面PAD⊥平面ABCD.
1
(2)解 设四棱锥P－ABCD的高为h，四边形ABCD的面积为S，则VP－ABCD＝hS＝23，
32h
又S△BCD＝S，四面体BCDM的高为.
321h12
∴VBCDM＝××S△BCD＝×hS
32631223
＝××63＝， 63323∴四面体BCDM的体积为. 3
思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．
(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论． 跟踪演练3 (2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC, AB⊥BC, BD⊥DC，点E是BC边的中点， 将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体．
(1)求证： AB⊥平面ADC；
(2)若AD＝1，AB＝2，求点B到平面ADE的距离． (1)证明 因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，
又BD⊥DC，DC?平面BCD，所以DC⊥平面ABD. 因为AB?平面ABD，所以DC⊥AB.
又AD⊥AB，DC∩AD＝D，AD，DC?平面ADC， 所以AB⊥平面ADC.
(2)解 因为AB＝2，AD＝1，所以BD＝3. 依题意△ABD∽△DCB， ABCD2CD所以＝，即＝. ADBD13所以CD＝6. 故BC＝3.
由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点， BC3所以AE＝＝. 22
BC3
同理DE＝＝.
221
所以S△ADE＝×1×
2因为DC⊥平面ABD， 13所以VA—BCD＝CD·S△ABD＝.
33设点B到平面ADE的距离为d，
113
则d·S△ADE＝VB—ADE＝VA—BDE＝VA—BCD＝， 326所以d＝66
，即点B到平面ADE的距离为. 22
?3?2－?1?2＝2. ?2??2?2
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是______．
答案 (1)
解析 对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交； 对于(2)，作如图②所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
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