第6题解图②
∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的， ∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°， ∴∠PAC＋∠CAQ＝90°， 又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°， ∴∠PAC＝∠QAF， ∴△PAC≌△QAF(AAS)， ∴AC＝AF，
∴四边形AFGC为正方形， ∴CG＝AC＝BC，即C为BG的中点， ∴QG＝2CM，
连接AG可得，△ABG为等腰直角三角形， ∴AB＝AG，
∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°， ∴∠PAB＝∠QAG， ∴△PAB≌△QAG(SAS)， ∴PB＝QG＝2CM， ∴PB＝2CM；
(3) 如解图③所示，过点Q作QH⊥AC交AC的延长线于点H.
第6题解图③
由题知，ACBC＝5
2
，设AC＝5a，BC＝2a，
由(2)知，△ACP≌△QHA，∴QH＝AC＝5a， 又∵△BCM∽△QHM， ∴BCQH＝CMMH， ∴
2a5a＝2
MH，∴MH＝5，
11
又∵AP＝AQ＝13，
∴在Rt△AHQ中，根据勾股定理得：QH＋AH＝AQ， ∴(5a)＋(5a＋2＋5)＝13， 化简得：5a＋7a－12＝0， 即(a－1)(5a＋12)＝0， 12
解得：a1＝1，a2＝－(舍)，
5∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5， ∴BP＝PC－BC＝12－2＝10， 11
∴S△ABP＝BP·AC＝×10×5＝25.
22
例7．如图，等边△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形． (1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
2
2
2
2
2
2
2
第7题图
【答案】解：(1)EN＝MF；
【解法提示】如解图①，连接DE、DF， ∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵△DMN为等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF， ∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF.
12
图① 图②
第7题解图
(2)成立．
证明：如解图②，连接DE、DF和EF， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC. 又∵D，E，F是三边的中点， ∴DE，DF，EF为三角形的中位线， ∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°.
又∵∠MDF＋∠FDN＝60°， ∠NDE＋∠FDN＝60°， ∴∠MDF＝∠NDE.
?DF＝DE，在△DMF和△DNE中，??∠MDF＝∠NDE，
??DM＝DN，∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝FM； (3)画出图形如解图③，
第7题解图③
MF与EN相等的结论仍然成立(或EN＝MF成立)．
【解法提示】如解图④，连接DE、EF、DF.
第7题解图④
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，且△ABC是等边三角形，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°. ∵△DMN是等边三角形，
13
∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDF＋∠MDE＝∠MDE＋∠NDE， ∴∠MDF＝∠NDE， ∴△MDF≌△NDE(SAS)， ∴MF＝NE.
例8．已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.
(1)发现问题
如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________； (2)解决问题
如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝85，求DG的长．
第8题图
11
【答案】解：(1)BE－MF＝AB；
22
【解法提示】如解图①，取AB的中点N，连接PN、PM.
第8题解图①
∵∠PBA与∠PAB互余， ∴∠PBA＋∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APD＝90°，
∵N是AB的中点，M是AD的中点， 11
∴PN＝BN＝AN＝AB，AM＝DM＝PM＝AD，
22∴∠NAP＝∠NPA，∠MAP＝∠MPA.
14
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC. ∵BC＝2AB， ∴AD＝2AB， ∴
ABAD＝12
， 而∠NAP＋∠MAP＝∠BAD＝90°， ∴∠NPA＋∠MPA＝90°，即∠NPM＝90°. ∵∠EPF＝90°， ∴∠NPM＝∠EPF，
∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM， ∴∠NPE＝∠MPF.
∵∠ABP＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠DAP＝90°， ∴∠ABP＝∠DAP. ∵PN＝BN，AM＝PM，
∴∠ABP＝∠BPN，∠DAP＝∠MPA， ∴∠ENP＝∠FMP， ∴△PNE∽△PMF， 1AB∴NEMF＝PN21PM＝1＝2
. 2AD∴NE＝1
2MF，
∵BE－NE＝BN， ∴BE－1
2MF＝BN，
又∵BN＝1
2AB，
∴BE－112MF＝2AB.
(2)不成立；
理由如下：如解图②，取AB的中点N，连接PN、PM，
第8题解图②
15
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