【解答】证明：（1）∵AC平分∠BCD， ∴∠DCA=∠ACB． 又∵AC⊥AB，AD⊥AE， ∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°， ∴∠DAC=∠EAB． 又∵E是BC的中点， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠ABC， ∴∠DAC=∠ABC， ∴△ACD∽△BCA， ∴
=
2
，
∴AC=CDBC； （2）①证明：连接AH． ∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称， ∴AH⊥BC． ∵EG⊥AB，AE=BE， ∴点G是AB的中点， ∴HG=AG， ∴∠GAH=GHA． ∵点F为AC的中点， ∴AF=FH， ∴∠HAF=∠FHA，
∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°， ∴FH⊥GH； ②∵EK⊥AB，AC⊥AB， ∴EK∥AC， 又∵∠B=30°，
∴AC=BC=EB=EC． 又EK=EB， ∴EK=AC， 即AK=KE=EC=CA， ∴四边形AKEC是菱形．
【点评】本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
2
（1）求二次函数y=ax+bx+c的表达式；
2
17
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
2
2
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x+10x，根据二次函数求出极值；
（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
2
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+9， ∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=﹣1，
22
y=﹣（x﹣2）+9=﹣x+4x+5，
2
（2）当y=0时，﹣x+4x+5=0， ∴x1=﹣1，x2=5， ∴E（﹣1，0），B（5，0）， 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（0，5），B（5，0）， ∴m=﹣1，n=5， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；
2
设P（x，﹣x+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
22
∴PD=﹣x+4x+5+x﹣5=﹣x+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x+5x）=﹣2x+10x，
2
2
∴当x=﹣=时，
18
∴S四边形APCD最大=（3）如图，
，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H， ∵MN∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE， ∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1， 当x=1时，M点纵坐标为8， 当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上， ∴N（2，10+b）， ∵AE=OA+0E=26 ∵MN=AE
2
2
2
2
2
∴MN=AE，
2222
∴MN=（2﹣1）+[8﹣（10+b）]=1+（b+2） ∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称， ∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N，
2
∴1+（b+2）=26， ∴b=3，或b=﹣7， ∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）， 当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
19
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值． 29．（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由； （3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则不要求写解答过程）
EB的值是多少？（直接写出结论，AD
【分析】（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（3）作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，证出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=
AD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示： 则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE， ∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A， ∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°， ∴AD=DF， ∵∠DEC=∠DCE， ∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴EB=DF， ∴EB=AD；
，
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