第8章 稳恒磁场 习题及答案
?6. 如图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R。若通以电流I，求O点的磁感应强度。
?解：O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB在O点产生的磁感应强度为
B1?0
?BC在O点产生的磁感应强度大小为
?I?I??I B2?0??0??0，方向垂直纸面向里
4?R4?R312RCD在O点产生的磁感应强度大小为
?IB3?0(cos?1?cos?2)
4?r04?Rcos600?I3?0(1?)，方向垂直纸面向里 2?R2?I3??)，方向垂直纸面向里 故 B0?B1?B2?B3?0(1?2?R267. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度。
解：圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点
产生的磁场为零。且
??0I(cos150??cos180?)
I1电阻R2??? I2电阻R12???I1产生的磁感应强度大小为
B1??0I1（2???），方向垂直纸面向外 4?RI2产生的磁感应强度大小为
?IB2?02?，方向垂直纸面向里
4?RBI(2???)?1 所以， 1?1B2I2?环中心O的磁感应强度为
???B?B?B 012?0
8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a，沿长度方向通过均匀电流I，求与平板共面且距平板一边为b的任意点P的磁感应强度。
解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。
以P点为坐标原点，垂直载流平板向左为x轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dI?强度大小为
Idx，dI在P点产生的磁感应a 1
dB??0dI?I?0dx，方向垂直纸面向里 2?x2?axP点的磁感应强度大小为
B??dB??0Ib?adx?0Ib?a ?ln?b2?ax2?ab方向垂直纸面向里。
9. 如图所示，真空中有两个点电荷A,B,分别带有电量?q和?q，相距为d。它们都以角速度?绕轴OO'转动，轴OO'与AB连线相互垂直，其交点为C，
d。求C点的磁感应强度。 3解：?q电荷运动形成电流大小为
qq? I1??T2?I1在C点产生的磁感应强度大小为
?I?I3?q?B1?01?01?0
2R2?d/34?d方向沿O??O方向
同理，?q电荷运动形成电流的电流I2在C点产生的磁感应强度
距A点为大小为
B2??0I22?2d/3?3?0q? 8?d
方向沿O??O的反方向
所以，C点的磁感应强度大小为
B?B1?B2?方向沿O??O方向
10. 已知磁感应强度大小B?2.0Wb·m-2的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如图所示。试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量。
解：(1)通过abcd面积S1的磁通量为
?1?B?S1?2.0?0.3?0.4cos???0.24Wb
3?0q? 8?d?????2?B?S2?0
(3)通过aefd面积S3的磁通量为
???3?B?S3?2?0.3?0.5?cos?
4
?2?0.3?0.5??0.24Wb
511．如图所示，真空中一半径为r的金属小圆环，在初始时刻与一半径为R（R??r）的金属大圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流I，如果小圆环以匀角速度?绕其直径转动，求任一时刻t通过小圆环的磁通量?m。
解：载流大圆环在圆心处产生的磁感应强度大小为
(2)通过befc面积S2的磁通量为
B??0I2R，方向垂直纸面向外
任一时刻t通过小圆环的磁通量为
???m?B?S?B??r2cos?t
2
12. 如图所示，电流I1?I2?I，求沿回路L1、L2以及L3的磁感应强度的环流。 解：由安培环路定理得
???L1B?dl??0I1??0I ???L2B?dl???0I2???0I ???B?dl??0(I1?I2)?0
L313. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，横截面如图所示。使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的横截面上。求：(1)导体圆柱内(r＜a)；(2)两导体之间(a＜r＜b)；（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小。
解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有
???B?dl?B?2?r??0?I
i
(1)当r?a时，?Ii?I2，所以 ??r2?a?0Ir 22?a(2)当a?r?b时，?Ii?I，所以
?IB?0
2?rB?(3)当b?r?c时，?Ii?I?
I22??(r?b)，所以 22?(c?b)?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)当r?c时，?Ii?0，所以
B?0
14. 有一长直导体圆管，内外半径分别为R1和R2，如图所示，它所载的电流I1均匀分布在其横截面上。导体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流I2，且在中部绕了一个半径为R的圆圈。设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d，而且它们与导体圆圈共面，求圆心O点处的磁感应强度。
解：应用磁场叠加原理求解。
长直载流导体圆管产生的磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、过O点的圆周为回路，应用安培环路定理，有
???B?dl?B1?2?(R?d)??0?I??0I1
i所以，长直载流导体圆管在O点产生的磁感强度大小为
I1B1?，方向垂直纸面向里
2?R?d电流I2的长直导线在O点产生的磁感强度大小为
?IB2?02，方向垂直纸面向外
2?R电流I2的圆线圈在O点产生的磁感强度大小为
?0I2 I1 d
O R I2 3
B3??0I22R，方向垂直纸面向外
所以，O点的磁感强度大小为
B?B2?B3?B1??0(1??)I22?[R?I1] R?d方向垂直纸面向外。
15. 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如图所示。现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。求：
(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小。
解：在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流I2和?I2，应用补偿法求解。
电流I2和?I2在空间产生的磁场相互抵消，因此空间各点磁场可看作半径为R、电流
I1?I?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r、电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体产生的磁场的叠加。 I2和I1的大小为
Ir2I2???r?2 222?(R?r)R?rI2IR2I1?I?I2?2
R?r2I1和I2产生的磁场分布具有轴对称性，应用安培环路定理求磁感应强度。
（1）电流I1在O点产生的B1?0，电流?I2在O点产生的磁感应强度满足
???B?dl?B2?2?a??0?I??0I2
i?0I2?0Ir2B2??
2?a2?aR2?r2圆柱轴线上的O点B的大小为
?0Ir2 B0?B1?B2?
2?a(R2?r2)??0，电流I1在O?点产生的磁感应强度满足 (2) 电流?I2在O?点产生的B2??I12?B?dl?B?2?a??I????a ?1002?i?R?0Ia?0I1a2?B1??
2?aR22?(R2?r2)空心部分轴线上O?点磁感应强度的大小为
?0Ia??B1??B2?? B0
2?(R2?r2)?置于磁感应强度为B的均匀磁场中，bc弧是半径为R的半圆周，
?B的方向垂直纸面向里。求此导线受到安培力的大小和方向。
?16. 通以电流I的导线abcd形状如图所示，ab?cd?l，
?dF ?y dl 解：应用安培定律求解。 ab边受力大小为
Fab?BIl，方向：向左
? x
cd边受力大小为
4
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