∵当P沿着直线x?0时，limx?0
y?0x?yx1xx??0 所以lim=lim不存在
x?0x?yx?yx?0x?kx1?ky?0y?0当P沿着直线y?kx（k为任意数），limx?0y?0xy?,x2?y2?0 讨论f(x,y)在（0，0） （1）偏导数是否存在。?25.设（2）是否可微。 2f(x,y)??x?y?22?0,x?y?0解：（1）fx(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)0?0?lim?0 同理可得fy(0,0)?0，偏导数存在。 ?x?0?x?x（2）若函数f在原点可微，则
?z?dz?f(0??x,0??y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y?应是较?高阶的无穷小量，为此，考察极限lim?z?dz?lim?x?y?x??y22
??0??x?y，由前
(?x,?y)?(0,0)?x2??y2面所知，此极限不存在，因而函数f在原点不可微。
6.设z=e11??xy 求证：x2?z?y2?z?2z
?x?y11?????z1?z12xy?exy.2 所以x证：?e.2 ?y?xxy1111???z2?z?y?2exy?2z
?x?y第四章 微分学应用作业（练习四）
一、填空题：
21.函数y?3(x?1)的驻点是x?1，单调增加区间是(1,??)，单调减少区间是(??,1)极值点是
x?1，它是极___小__值点。
2.函数y?x在x?___0_____处达到最小值，y的驻点___不存在_____。 3.若f(x)在(a,b)内满足f?(x)?0，则f(x)在(a,b)内是__单调减少的______。 11224.函数f(x,y)?xy?xy?xy的可能极值点为和。
335.设f(x,y)?x2siny?(x2?1)|xy|则f'y(1,0)?____1_____。
二、选择题：
1.设f(x)在[0,??)内可导,f'(x)?0,f(0)?0,则f(x)在(0,??)内（ D ）。
A.只有一点x1,使f(x1)?0 B.至少一点x1,使f(x1)?0 C.没有一点x1,使f(x1)?0 D.不能确定是否有x1,使f(x1)?0 2.当x > 0 时，曲线y?xsin1（ A ）。 xA.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线；
C.既有水平渐近线也有铅直渐近线 D.既无水平渐近线也无铅直渐近线. 3.设f(x)在x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，limf(x)x2sin22x?0。 ?1，则在点x?0处f(x)（ D ）
A.不可导 B.可导，且f?(0)?0 C.取得极大值 D.取得极小值 4.若f(?x)?f(x)(???x???)，在(??,0)内f?(x)?0,f??(x)?0,则在(0,??)内（ C ）。 A.f?(x)?0,f??(x)?0 B.f?(x)?0,f??(x)?0 C.f?(x)?0,f??(x)?0 D.f?(x)?0,f??(x)?0
5.设f(x)为奇函数，且x?0时f?(x)?0，则f(x)在[?10,?1]上的最大值为（ B ）。 A.f(?10) B.f(?1) C.f(10) D.f(1) 6.函数f(x,y,z)?4(x?y)?x?y （ A ）
A.有极大值8 B.有极小值8 C.无极值 D.有无极值不确定 7.函数f(x,y)?x?ay(a?0为常数）在（0，0）处（ A ）。
A.不取极值 B.取极小值 C.取极大值 D.是否取极值与a有关 8.当x?y?1时，函数f(x,y)?(x2?y2)e?(x?12222222?y2)（ B ）。
?1A.不取极值 B.取极大值e C.取极小值e D.取极大值e
2
??(x0,y0)，9.如果点(x0,y0)有定义且f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内有连续二阶偏导，?=B-AC，A=fxx??(x0,y0)，C=fYY??(x0,y0)，则当（ C ）B=fxy，f(x,y)在(x0,y0) 取 极大值。
A.?>0,A>0 B.?<0,A>0 C.?<0,A<0 D.?>0,A<0 10.函数z?x?y?3x?3y?9x的极值点有（ C ）。
A.（1，0）和（1，2） B.（1，0）和（1，4）
C.（1，0）和（-3，2） D.（-3，0）和（-3，2）
三、求解下列各题：
33221.设函数f(x)在[0,1]上可导，且0?f(x)?1，对于（0 ,1）内所有x有f'(x)?1,证明在（0,1）内有且只有一个数x使 f(x)?x。
设 F(x)?f(x)?x, 在 [0 ,1] 上用零点定理，得 F(x) 至少有一个零点.反设 F(x) 在 [0 ,1] 上存在两个零点c1,c2，即F(c1)?F(c2)?0,Q[c1,c2]? [0 ,1] ,由Rolle定理可得至少有??(c1,c2) , 使 F?(?)?0 即 f?(?)?1?0?f?(?)?1,与题设矛盾，故在 (0 ,1) 内有且只有一个x, 使 f(x)?x.2.求函数y?x(1?x)的单调区间和极值。
解：函数y?x(1?x)的定义域是(??,?1)?(?1,??)
2?12?1
?y??2x(1?x)?x(?1)(1?x)?12?22x(1?x)?x2x(2?x)??
(1?x)2(1?x)2令y??x(2?x)?0，得驻点x1??2，x2?0 2(1?x) (??,?2) + -2 0 极大值 (?2,?1)?(?1,0) - 0 0 极小值 (0,??) + f?(x) f(x)
故函数的单调增加区间是(??,?2)和(0,??)，单调减少区间是(?2,?1)及(?1,0)，当x?-2时，极大值f(?2)??4；当x?0时，极小值f(0)?0.
3.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。
解:设平面方程为Ax?By?Cz?1, 其中A,B,C均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为
V?11, 且A?3B?6C?1, 令F(A,B,C,?)?ABC??(A?3B?6C?1), 则由
6ABC??F1???A?BC???0A???3?F???AC?3??01??, 求得 ?B?. 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 ??A9??F??AB?6??01??C??A??18??A?3B?6C?1?xyz1???1, 且Vmin??3?9?18?81 39186
第五章 积分学基本理论及应用作业（练习五）
一、填空题： 1.
ddddf(x)dx?ddf(x)dx?f(x) dx??dx???lnsinx?cosx?C, n??2,?n2.?(sinx?cosx)ncos2xdx? ?(sinx?cosx)cos2xdx??1
n?2(sinx?cosx), n??2.?n?2?3.设f(x)是连续函数，且
? x3?1 0f(t)dt?x，则f(7)?13x2?x?21 124.若
???0e?kxdx?1，则k?2 222“?”或“?”）。 lnx?y??d????ln?x?y?d?（选填??35.设D由x轴、y轴及直线x?y?1围成，则
11?xDD6.交换
?dx?020f(x,y)dy的次序为交换积分次序
27.设D为x?y?4，则
x??eD2?y2d?的极坐标形式的二次积分为D：??0???2?2?2 I??0d??0er?rdr
?0?r?22x2y2M4b8.设均匀薄片所占区域D为：2?2?1,y?0则其重心坐标为? y?x?
M3?ab9.设函数f(x,y)连续，且满足f(x,y)?x??Df(x,y)d??y2，其中D:x2?y2?a2,则
f(x,y)?y?22?a442x.
10.求曲线y?4ax,x?
二、选择题： 1.xd(e)?( B ) A. xe?xay2所围成图形的面积为a2（a>0）
32??x?c B. xe?x?e?x?c C. ?xe?x?c D. xe?x?e?x?c
2.下列定积分中积分值为0的是( A )。
x?x??1e?eex?e?x32(x?cosx)dxdx B. ?dx C. ?A. ? D. ?(x?sinx)dx ?????1?12213.下列无穷积分收敛的是（ D ） A.
?0??sinxdx B. ?e?xdx C. ???0??1??11dx D. ?dx 21xx4.设f(x)是以T为周期的连续函数,则I?? a?T af(x)dx的值（ D ）。
A.依赖于a,T B.依赖于a,T和x C.依赖于T,x，不依赖于a D.依赖于T，不依赖于a
5.曲线y?sinx (0?x??)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为（ B ）。 A.
3244222 B. ? C. ? D. ? 3333
??? sinx434226.设M???cosxdx，N???(sinx?cosx)dx，P??2?(x2sin3x?cos4x)dx，则有2 ?1?x ? ?222 （ D ）。
A.N?P?M B.M?P?N C.N?M?P D.P?M?N 7.下列不定积分中，常用分部积分法的是（ B ）。 A.xsinxdx B.xsin(2x?1)dx C．
13?2?lnxx D．dx?x?1?xdx
8.设I?x2?y2?4??(1?x2?y)dxdy，则必有（ D ）
2A. I>0 B. I<0 C. I=0 D. I?0的符号位不能确定 9.设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（lim?t?01?t3x2?y2?t2??f(x2?y2)dxdy）( C )
A.等于0 B.等于
2f'(0) C.等于+? D.不存在且非? 310.设I1?x?yx?yx?y3d?,I?d?,I?23??D4??D4??D4d?
22其中D:(x?1)?(y?1)?2,则I1,I2,I3的大小关系时（ A ）
A. I1?I2?I3 B. I3?I2?I1 C. I2?I1?I3 D. I1?I3?I2 三、求解下列各题： 1.求下列积分
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