吉林大学工程数学计算方法(第三章习题答案)

……………………………………………………………精品资料推荐…………………………………………………

(2)在?0，上构造权函数（1??x）= g0(x)=1 g1(x)=x-131二次正交多项式g2(x)x

63 g2(x)=x2?x?73563 令?2(x)?(x?x0)(x?x1)?x2?x??073515?23015?230,x1?3535 代入：x0?11?A?A?dx01??0?x??Ax?Ax?1x1dx0011?0x???18?30A??0?18??A?18?301?18???10

118?3015?23018?3015?230f(x)dx?f()?f()18351835x13．分别用三点和四点Gauss－Chebyshev求积公式计算积分I?差。

解：(1)用三点(n?2)Gauss-Chebyshev求积公式来计算：

11?945(x)??(2?x)2,

64?1?12?xdx，并估计误21?x 此时，f(x)?2?x,f(6)Ak?1?(2k?1)??,xk?cos(k?0,1,n?132n?2,n),

x0?cos 由公式可得：

?6?33?5?3,x1?cos?0,x2?cos??, 2662I??3?k?022?xk??3(2?33?2?0?2?)?4.368939556197 22 16

……………………………………………………………精品资料推荐…………………………………………………

由余项可估计误差为 |E2[f]|?945?2.01335?10?3. 526!64?(2)用四点(n?3)Gauss-Chebyshev求积公式来计算：

此时，f(x)? Ak?2?x,f(8)15?945143(x)????(2?x)2,

6441?(2k?1)??,xk?cos(k?0,1,,n), n?142n?2?3?5?7? x0?cos,x1?cos,x2?cos,x2?cos,

8888I??4k?0?32?xk??4(2?cos?8?2?cos3?5?7??2?cos?2?cos) 888 ?4.368879180569. 由余项可估计误差为 |E3[f]|?945143?4??3.21327?10. 728!644??14．用三点Gauss?Legendre求积公式计算积分I?解：作变换x???0excosxdx，并估计误差。

?2(1?t),则得

I???0ecosxdx?x?2??11?e2(1?t)cos[(1?t)]dt??e22???2?1?2?1ecost?2tdt

由三点Gauss-Legendre公式：

??ba5158515f(x)dx?f(?)?f(0)?f()

9599515)5?(?5 I??e2[e229?85?1015?15cos(?)??ecos(?)]

109910?15 ???8e2(0.05705252905??0.650303782451) 29? ??12.06167600229.

其估计误差为：

74627(3!)4(6)??2(3!)???2?42?7?10E2(f)?f(?),???1,1?e??(?)ecos(),??337(6!)27(6!)82???11x?（??）。其准确值 I??ecosxdx??(1?e)??12.07034631639.

022其准确误差等于：|?12.06167600229?(?12.07034631639)|?8.6703141?10.

?3 17