浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用 马剑镇中

浅谈反证法在中学数学中的应用

方金华

摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。 关键词：反证法 证明 矛盾

Reduction to Absurdity Applied in Mathematics in Middle School

Abstract: In this paper, we give the definition ，the logical basis and species of reduction to absurdity. Besides, we illustrate its procedures and explore its applications of on mathematics in the middle school.

Key-words: reduction to absurdity proof contradict

1. 引言

有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。

2. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式

定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

不仿设原命题为p?q，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：p?q?s?s?p?q，即p?q?s?s?p?q。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，

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那么用反证法证明命题一般有三个步骤：

（1） 反设：作出与求证结论相反的假设；

（2） 归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； （3） 结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

3. 反证法的适用范围

反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

3.1否定性命题

即结论以“没有??”“不是??”“不能??”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。

证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞90,且∠B＞90，则∠A+∠B+∠C＞180。这与“三角形内角和为180”这一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于90不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。

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3.2限定式命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

例 在半径为5的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于

?。 9证明：每个小圆的公共部分的面积都小于圆的公共部分面积要小于36??2，而九个小圆共有C9?36个公共部分，九个小9?9?4?，又大圆面积为5?，则九个小圆应占面积要大于

9??4??5?，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于

22?。 922例 已知方程x?4ax?4a?3?0，x?(a?1)x?a?0，x?2ax?2a?0中至少有一

个方程有实数值，求实数a的取值范围。

分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a的集合的补集即可。

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证明：假设三个方程都无实根，则有：

?(4a)2?(?4a?3)＜0?322-＜a＜-1 解得 (a?1)?4a＜0?2?4a2?8a＜0?∴所求a的范围为a??或a??1.

323.3无穷性命题

即涉及各种“无限”结论的命题。 例 求证：2是无理数。

分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。

证明：假设2是有理数，则存在a,b?N.且a,b互质，使2?a?a2?2b2，从而，ab2222为偶数，记为a?2c，∴a?4c，∴2c?b，则b也是偶数。由a,b均为偶数与a、b互

质矛盾，故2是无理数。

例 求证：素数有无穷多个。

证明：假设素数只有n个： P1、P2??Pn，取整数N=P1·P2??Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、??Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。

3.4逆命题

某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。 例 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。 逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。 逆命题的证明：如图，若AB+CD＝AD+BC??（1），设四边形ABCD

不能有一个内切圆，则可作⊙O与其三边AD、DC、AB相切，而BC与⊙O相离或相交，过C作⊙O的切线交AB或延长线于点E,由正命题知：AE+CD＝AD+CE??（2）.当BC与⊙O相离时，（1）-（2）得AB-AE＝BC－CE?BC＝CE+BE，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC与⊙O相交时，（2）-（1）得AE-AB＝CE－BC?BC＝CE+BE，同样推出矛盾，则BC与⊙O不能相交或离，

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BC与⊙O必相切，故四边形必有一个内切圆。

3.5某些存在性命题

例 设x，y∈(0,1),求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax - by|≥立.

1成31恒成立，令x = 0 , y = 1 ,3111则|b|＜令x = 1 , y = 0 , 得| a| ＜令x = y = 1 ,得| 1 - a - b| ＜但| 1 - a - b|

333111≥1 - | a| - | b| ＞ 1 --=产生矛盾,故欲证结论正确。

333证明：假设对于一切x , y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜

3.6全称肯定性命题

即结论以“??总是??”、“??都??”、“??全??”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。

例 求证:无论n是什么自然数，证明：假设

21n?4总是既约份数。

14n?321n?44n?3?kb（2）不是既约分数，令21n?4?ka（1），114n?3a1（k,a,b?N,k1），且为既约，由（2）×3-（1）×2得3kb?2ka?1?3b?2a?，因

bk1121n?43b?2a为整数，为分数，则3b?2a?不成立，故假设不成立，分数是既约的。

kk14n?33.7一些不等量命题的证明

如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。

例 已知a、b、c、d∈R，且ad-bc＝1，求证：a+b+c+d+ab+cd≠1。

证明：假设a+b+c+d+ab+cd＝1，把ad－bc＝1代入前式得：a+b+c+d+ab+bc-ad+cd＝0 即（a+b）+（b+c）+（c+d）+（a-d）＝0 ∵a、b、c、d∈R∴a+b＝b+c＝c+d＝a-d＝0 ∵a＝b＝c＝d，从而ad-bc＝0与ad-bc＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.

例 在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.

分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。 证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.

（1） 若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.

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