解：（1）法1：设点P的坐标为?x,y?，则由题意可知：
x?y?122x?y?1x?y?1??2y，…………………………………………………4分 所以22?x?y?1?2y，由于x?y?1?0，x?y?1?0，y?0，…2分
化简可得：y?2?1（2?2?x?2?2）……………………………………5分 法2：设点P到三边AC,AB,BC的距离分别为d1,d2,d3，其中d2?y，?|AB|?2|AC|?2|BC|?2.所以 ????于是点P的轨迹方程为y?2?1（
?y?2?1………4分 22d1?y?d3?1222?2?x?2?2）……………………5分 d1?d3?2y（2）由题意知道0?a?b?1，
情况（1）b?a.
直线l：y?a(x?1)，过定点A??1,0?，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心?0,?，
??1?3?1从而b?a?.………………………………………………7分
3b??1，a故直线l与两边BC,AC分别相交，设其交点分别为D,E，则直线l与三角形两边的两个交点坐标D?x1,y1?、E?x2,y2?应该
情况（2）b?a.此时图像如右下：令y?0得x???y?ax?b满足方程组：?. ????y?x?1??x?y?1??0因此，x1、x2是一元二次方程：??a?1?x??b?1????a?1?x??b?1???0的两个根.
即a?1x?2a(b?1)x?(b?1)?0, 由韦达定理得：x1x2?2?22?b?1??2a2?1而小三角形与原三角形面积比为?x1x2，即x1x2??.
12b?1??所以
2211?a1?a2亦即b?1?. ???b?1??a2?12，22，
1再代入条件b?a，解得0?a?， 32??从而得到b??1?2,1?.……………………………………………………………11分
?23?????综合上述（1）（2）得：b??1?2,1?.……………………………………………12分
?23??解法2：由题意知道0?a?b?1 情况（1）b?a.
直线l的方程为：y?a(x?1)，过定点A??1,0?，
由平面几何知识可知，直线l应该过三角形的重心?0,?，
??1?3?1.……………………………………………………………………7分 3情况（2）b?a.
设直线l：y?ax?b分别与边BC:y??x?1,x??0,1?，
从而b?a?边AC:y?x?1,x???1,0?的交点分别为点D,E， 通过解方程组可得：D(1?ba?b1?ba?b,)，E(,)，又点C(0,1)， a?1a?1a?1a?1011?b?2a?11?ba?1111?a21a?b2∴S?CDE. 1=，同样可以推出?1?b??22a?1a?b1a?1211?a亦即b?1?，再代入条件b?a，解得0?a?，
23?21?.………………………………………………………11分
从而得到b??1?,?23??综合上述（1）（2）得：b??1???21?,?.………………………………………12分 23?
解法3：
情况（1）b?a.
直线l的方程为：y?a(x?1)，过定点A??1,0?， 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心?0,?，
??1?3?1.………………………………………………………………………7分 3情况（2）b?a.
b令y?0，得x????1，故直线l与两边BC,AC分别相交，
a设其交点分别为D,E，当a不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b从而b?a?也不断减小.
当DE//AB时，?CDE与?CBA相似，由面积之比等于相似比的平方.
21?b2?，所以b?1?， 122?21?,?.…………………………………………………………12分 综上可知b??1??23??可知
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