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第一章节公式
1、数列极限的四则运算法则 如果nlimxn?A,limyn?B,那么 ??n??n??lim(xn?yn)?limxn?limyn?A?Bn??n??n??n??
lim(xn?yn)?limxn?limyn?A?B
n??n??n??
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若?an?，?bn?，?cn?有极限，．．
n??n??lim(xn.yn)?lim(xn).lim(yn）?A.B
xnAxnlimn??lim??(B?0)n??ylimyBnn
则：limn??(an?bn?cn)?limn??an?limn??bn?limn??cn 特别地，如果C是常数，那么limn??(C.an)?limn??C.limn??an?CA
2、函数极限的四算运则
如果limf(x)?A,limg(x)?B,那么
limf(x)?limg(x)?limf(x)?limg(x)?A?B
limf(x)?limg(x)?limf(x)?limg(x)?A?B
f(x)limf(x)limg(x)?limg(x)?AB(B?limg(x)?0)
推论设limf1(x),limf2(x),limf3(x),......limfn(x),limf(x)都存在，k为常数，lim[f1(x)?f1(x)?....fn(x)]?limf1(x)?limf2(x)?....?limfn(x)lim[kf(x)]?klimf(x)lim[f(x)]n?[limf(x)]n
3、无穷小量的比较：
设?,?是同一过程中的两个无穷小,且lim??0,lim??0.
(1)如果lim???0,就说?是比?高阶的无穷小,记作??o(?);(2)如果lim???C(C?0),就说?是与?同阶的无穷小;
3）特殊地如果lim???1,则称?与?是等价的无穷小量;记作?~?;
(4)如果lim??k?C(C?0,k?0),就说?是?的k阶的无穷小.
(5)如果lim????,则称?是比?低阶的无穷小量.
常用等级无穷小量的比较：当x?0时,sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,arctanx~x,ln(1?x)~x,ex?1~x,1?cosx~12x2. 重要极限limsinx1x?0x?1.limx?0(1?1x)x?e.limx1x?0(1?x)?e对数列有limn??(1?n)n?e
n为正整数，则有：
（
第二章节公式
1.导数的定义：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
f(x0＋Δx)－f(x0)Δflim ＝lim ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作
ΔxΔx→0Δx→0Δxf(x0＋Δx)－f(x0)
f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝lim . ΔxΔx→0
2．导数的几何意义
f(x0＋Δx)－f(x0)
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝lim ＝f′(x0)．
ΔxΔx→0
3．导函数(导数)
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)
f(x＋Δx)－f(x)
的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim .
ΔxΔx→0
4．几种常见函数的导数
(1)c′＝0(c为常数)，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a?1), (ex)′＝ex 11
(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=
1(a＞0,a?1) xlnaxx
(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx (7)
(tanx)'?1, 2cosx (8)(cotx)'??(?1?x?1),
1 2sinx(9) (arcsinx)'?(11)
11?x2 (10) (arccosx)'??11?x211?x2(?1?x?1)
(arctanx)'?11?x2, (12)(arccotx)'??
5．函数的和、差、积、商的导数
(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′
?u?u′v－uv′??，(ku)′＝cu′(k2?v?′＝v??
为常数)．
(uvw)′＝u′vw＋uv′w+ uvw′ 微分公式：
（1）d(c)?o(c为常数）（2）d(xa)?axa?1dx(a为任意实数）
(3)d(loga)?x1dx(a?0,a?1),xlna
d(lnx)?1dxx
（4）d(ax)?axlnadx(a?0,a?1)(5)d(sinx)?cosxdx (7) d(tanx)?12dx,
cosx
(6)d(cosx)??sinxdx
1dx 2sinx
d(ex)?exdx (8)d(cotx)??(9) (arcsinx)'?(11)
11?x2dx, (10) (arccosx)'?? (12)
11?x2dx
d(arctanx)?1dx, 21?xd(arccotx)??1dx 21?x6．微分的四算运则
d(u±v)＝du±dv， d(uv)＝v du＋udv
uvdu?udvd()?(v?0) vv2 d(ku)＝kdu(k为常数)．
洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
limx?a7.导数的应用：
f'(x)=0 的点为函数f(x)的驻点，求极值；
(1)x?x0时，f'(x)?0;x?x0时,f(x)'?0,则f(x0)为f(x)的极大值，x0为极大值点; (2)x?x0时，f'(x)?0;x?x0时,f(x)'?0,则f(x0)为f(x)的极大值，x0为极小值点;
f(x)‘f(x)f''(x)?lim?lim?A(或?）x?ax?ag(x)g'(x)g''(x)
(3)
如果f'(x)在x0的两端的符号相同，那么f(x0)不是极值，x0不是极值点。;
f''(x)=0 的点为函数f(x)的拐点，求凹凸区间；
f''(x)?0的x取值范围内，曲线y?f(x)为凸的（下凹） f''(x)?0的x取值范围内，曲线y?f(x)为凹的（上凹）
第三章知识点概况
不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作?f(x)dx，并称?f(x)f(x)dx为积分符号，函数为被积函数，为被积表达式，x为积分变量。 不定积分的性质：
(1)[?f(x)dx]'?f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx(2)?F'(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C(4)?kf(x)dx?k?f(x)dx(k为常数且k?0)因此?f(x)dx?F(x)?C
(3)?[f(x)??(x)?....??(x)]dx??f(x)dx???(x)dx?....???(x)dx
基本积分公式：
(1)?0dx?C(4)?adx?x
1a?1x?C(a??1)a?1
(2)?xdx?a
1(3)?dx?lnx?Cx
1xa?C(a?0,a?1)lna(5)?exdx?ex?C
(6)?sinxdx??cosx?C
(7)?cosxdx?sinx?C(9)?
(8)?1dx??cotx?C2sinx
1dx?tanx?C2cosx
11(10)?dx?arcsinx?C(11)?dx?arctanx?C221?x 1-x
换元积分（凑微分）法：
1.凑微分。对不定积分?g(x)dx，将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dx??[?(x)]?'(x)dx 2.作变量代换。令
u??(x),则du?d?(x)??'(x)dx代入上式得：?g(x)dx凑微分?f[?(x)]?'(x)dx变换带量?f(u)du3.用公式积
分，，并用u??(x)换式中的u?f(u)du公式F(u)?C回代F[?(x)]?C 常用的凑微分公式主要有：
11f(ax?b)d(ax?b)（2）f(axk?b)?xk?1dx?f(axk?b)d(axk?b) aka11111（3）f(x)?dx?2f(x)d(x) （4）f()?2dx??f()d()
xxxxx1（5）f(ex)?exdx?f(ex)d(ex) （6）f(lnx)?dx?f(lnx)d(lnx)
x（1）f(ax?b)dx?（7）f(sinx)?cosxdx?f(sinx)d(sinx) （8）f(cosx)?sinxdx??f(cosx)d(cosx)
11 （9）f(tanx)?dx?f(tanx)d(tanx)（10）f(cotx)?dx??f(cotx)d(cotx)
cos2xsin2x1（11）f(arcsinx)?dx?f(arcsinx)d(arcsinx) 21?x1?x1（13）f(arctanx)?dx?f(arctanx)d(arctanx)
1?x2?'(x)（14）dx?d(ln?(x))(?(x)?0)
?(x)（12）f(arccosx)?12dx??f(arccosx)d(arccosx)
分部积分法：d(uv)?vdu?udv两边对x积分得uv??vdu??udv移项得?udv?uv??vdu或?vdu?uv??udv适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法
axax（1）?eP(x)dx设u?P(x),dv?edx （2）?P(x)sinaxdx设u?P(x),dv?sinaxdx （3）?P(x)cosaxdx设u?P(x),dv?cosaxdx （4）?P(x)lnxdx设u?lnx,dv?P(x)dx
axax （7）esinbxdx其中u,v为任意选取，e??cosbxdx其中u,v为任意选取，（5）?P(x)arcsinxdx设u?arcsinx,dv?P(x)dx（6）?P(x)arctanxdx设u?arctanx,dv?P(x)dx上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。
一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。 定积分:?af(x)dx?lim?f(?i)△xi此式子是个常数
n??（△?0）bni?1(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有?abf(x)dx??f(t)dt
abb（2）在定积分的定义中，我们假定a baf(x)dx?0 （3）对于定义在[?a,a]上的连续奇（偶）函数f(x)，有 ?a?af(x)dx?0 f(x)为奇函数 ba ?a?af(x)dx?2?f(x)dx f(x)为偶函数 0bbbaaaa（1）（2）定积分的性质：?kf(x)dx?kf(x)dx(k为常数）?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx （3）?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(c为a,b的内外点）aacbcbbbb（5）（4）如果在区间[a,b]上总有f(x)?g(x),则?f(x)dx??g(x)dx（单调性）?1dx?b?aaaa（6）设M和m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab（7）积分中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点?，使得下式成立：?f(x)dx?f(?)(b?a)ab定积分的计算： 一、变上限函数 设函数f?x?在区间?a,b?上连续，并且设x为?a,b?上的任一点，于是，f?x?在区间?a,b?上的定积分为?af?x?dx 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为?af?t?dt xx
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