第七讲 高考真题再现
1．（2019?新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（ ） A．16 【答案】C
【解析】设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有
，∴
，
B．8
C．4
D．2
∴，
2．（2019?新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ） A．an＝2n﹣5 【答案】A
【解析】设等差数列{an}的公差为d， 由S4＝0，a5＝5，得
，∴
， B．an＝3n﹣10
C．Sn＝2n﹣8n
2
D．Sn＝n2﹣2n
∴an＝2n﹣5，，
3．（2018?新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（ ） A．﹣12 【答案】B
【解析】∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2， ∴
＝a1+a1+d+4a1+B．﹣10
C．10
D．12
d，
把a1＝2，代入得d＝﹣3 ∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10． 故选：B．
4．（2017?新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯
数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1盏 【答案】B
【解析】设塔顶的a1盏灯， 由题意{an}是公比为2的等比数列，
B．3盏
C．5盏
D．9盏
∴S7＝解得a1＝3． 故选：B．
＝381，
5．（2017?新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是2，2，2，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440 【答案】A
B．330
C．220
D．110
0
1
2
0
0
1
【解析】设该数列为{an}，设bn＝+…+＝2﹣1，（n∈N+），则
n+1
＝ai，
由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝2﹣1+2﹣1+…+2﹣1＝2﹣n﹣2， 可知当N为
时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2﹣n﹣2，
n+1
12n+1n+1
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由B项，仿上可知
项不符合题意．
＝435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝2﹣29﹣2+2﹣1＝2，故A项符合题意．
＝325，可知S330＝T25+b5＝2﹣25﹣2+2﹣1＝2+4，显然不为2的整数幂，故B26
5
26
30530
C项，仿上可知
故C项不符合题意．
＝210，可知S220＝T20+b10＝2﹣20﹣2+2﹣1＝2+2﹣23，显然不为2的整数幂，
21102110
D项，仿上可知
项不符合题意． 故选A．
方法二：由题意可知：
＝105，可知S110＝T14+b5＝2﹣14﹣2+2﹣1＝2+15，显然不为2的整数幂，故D15515
，，
1
2
，…
3
，
n根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2﹣1，2﹣1，2﹣1，…，2﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n， 总共的项数为N＝1+2+3+…+n＝
1
2
3
，
n1
2
3
所有项数的和为Sn：2﹣1+2﹣1+2﹣1+…+2﹣1＝（2+2+2+…+2）﹣n＝由题意可知：2为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有∴该款软件的激活码440． 故选：A．
+2＝3，不满足N＞100， +3＝18，不满足N＞100，
n+1
n﹣n＝2﹣2﹣n，
n+1
+4＝95，不满足N＞100， +5＝440，满足N＞100，
6．（2017?新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（ ） A．1 【答案】C
【解析】∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48， ∴
解得a1＝﹣2，d＝4， ∴{an}的公差为4．
7．（2017?新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ） A．﹣24
B．﹣3
C．3
D．8
， B．2
C．4
D．8
【答案】A
【解析】∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列， ∴
2
，
∴（a1+2d）＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0， 解得d＝﹣2， ∴{an}前6项的和为故选：A．
8．（2016?新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意
＝
＝﹣24．
k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 【答案】C
【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故选：C．
9．（2016?新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（ ） A．100 【答案】C
【解析】∵等差数列{an}前9项的和为27，S9＝∴9a5＝27，a5＝3， 又∵a10＝8， ∴d＝1，
∴a100＝a5+95d＝98，
＝
＝9a5．
B．99
C．98
D．97
B．16个
C．14个
D．12个
故选：C．
10．（2015?新课标Ⅰ）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（ ） A．
B．
C．10
D．12
【答案】B
【解析】∵{an}是公差为1的等差数列，S8＝4S4， ∴8a1+×1＝4×（4a1+），
解得a1＝． 则a10＝
+9×1＝
．
故选：B．
11．（2015?新课标Ⅱ）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【解析】由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1． 则S5＝＝5a3＝5．
故选：A．
12．（2015?新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（ A．21 B．42 C．63 D．84
【答案】B
【解析】∵a1＝3，a1+a3+a5＝21， ∴
，
∴q4
+q2
+1＝7， ∴q4
+q2﹣6＝0， ∴q2＝2， ∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．
故选：B．
13．（2015?新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝
，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（ ） ）
）
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