则：（常数），
由于，
故：，
数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列． 整理得：
所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4． （2）数列{bn}是为等比数列， 由于
（常数）；
，
（3）由（1）得：根据所以：
，
．
，
30．（2018?新课标Ⅲ）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3． （1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m． 【答案】（1）an＝（﹣2）
n﹣1
（2）6
【解析】（1）∵等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3． ∴1×q＝4×（1×q）， 解得q＝±2， 当q＝2时，an＝2
n﹣1
4
2
，
n﹣1
当q＝﹣2时，an＝（﹣2），
，或an＝（﹣2）
n﹣1
∴{an}的通项公式为，an＝2
n﹣1
．
（2）记Sn为{an}的前n项和．
当a1＝1，q＝﹣2时，Sn＝＝＝，
由Sm＝63，得Sm＝＝63，m∈N，无解；
当a1＝1，q＝2时，Sn＝
m＝＝2﹣1，
n由Sm＝63，得Sm＝2﹣1＝63，m∈N， 解得m＝6．
31．（2017?全国）设数列{bn}的各项都为正数，且
．
（1）证明数列为等差数列；
（2）设b1＝1，求数列{bnbn+1}的前n项和Sn． 【答案】见解析
【解析】（1）证明：数列{bn}的各项都为正数，且
，
两边取倒数得，
故数列为等差数列，其公差为1，首项为
，
， ， ．
；
（2）由（1）得，故因此
，所以
32．（2017?新课标Ⅱ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝﹣1，b1＝1，
a2+b2＝2．
（1）若a3+b3＝5，求{bn}的通项公式； （2）若T3＝21，求S3． 【答案】见解析
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝5，
可得﹣1+d+q＝2，﹣1+2d+q＝5， 解得d＝1，q＝2或d＝3，q＝0（舍去），
2
则{bn}的通项公式为bn＝2（2）b1＝1，T3＝21， 可得1+q+q＝21， 解得q＝4或﹣5，
2
n﹣1
，n∈N*；
当q＝4时，b2＝4，a2＝2﹣4＝﹣2，
d＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，S3＝﹣1﹣2﹣3＝﹣6；
当q＝﹣5时，b2＝﹣5，a2＝2﹣（﹣5）＝7，
d＝7﹣（﹣1）＝8，S3＝﹣1+7+15＝21．
33．（2017?新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6． （1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列． 【答案】见解析
【解析】（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q， 则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝
2
＝，a2＝＝，
由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，
n﹣1
则a1＝﹣2，an＝（﹣2）（﹣2）
n＝（﹣2），
n∴{an}的通项公式an＝（﹣2）；
n+1
（2）由（1）可知：Sn＝则Sn+1＝﹣
[2+（﹣2）]，Sn+2＝﹣
[2+（﹣2）]﹣
n+1n+2
n+2
＝
n+3
＝﹣
[2+（﹣2）]，
n+3
[2+（﹣2）]，
由Sn+1+Sn+2＝﹣＝﹣＝﹣
[2+（﹣2）]，
2
[4+（﹣2）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣2）]， [4+2（﹣2）]＝2×[﹣
n+1
n+1
（2+（﹣2））]，
n+1
＝2Sn，
即Sn+1+Sn+2＝2Sn，
∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
34．（2017?新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{【答案】（1）an＝
}的前n项和．
． （2）
【解析】（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an＝2．∴an＝
．
当n＝1时，a1＝2，上式也成立． ∴an＝（2）∴数列{
． ＝
}的前n项和＝
＝
+﹣
． +…+
＝1﹣
＝
．
35．（2016?新课标Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0． （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若S5＝
，求λ．
【答案】见解析
【解析】（1）∵Sn＝1+λan，λ≠0． ∴an≠0．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1+λan﹣1﹣λan﹣1＝λan﹣λan﹣1， 即（λ﹣1）an＝λan﹣1，
∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1， 即
＝
，（n≥2），
∴{an}是等比数列，公比q＝当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1， 即a1＝∴an＝
， （?
）
n﹣1
，
．
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