第十一章 机械波和电磁波
三. 计算题
1. 一横波沿绳子传播时的波动方程式为 y?0.05cos(10?t?4?x) (SI)。 （1）求此波的振幅、波速、频率和波长；
（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；
（3）求x=处的质点在t=1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位 （4）分别画出t=1s，，各时刻的波形。
解：（1）原波动方程式可改写为 y?0.05cos10?（t?x) (SI) 2.5由波动方程式可知A=，ν=5Hz，u?2.5m/s，?=u=，?0?0 ?222（2）vm??A?0.5??1.57m/s，am??A?5??49.3m/s
（3）x=处质点在t=1s时的相位为?(0.2,1)?(10??1?4??0.2)?9.2? 与t时刻前坐标原点的相位相同，则?(0,t)?(10??t?4??0)?9.2? 得t=
（4）t=1s时，y?0.05cos(10??4?x)?0.05cos4?x(m)
t=时，y?0.05cos(12.5??4?x)?0.05sin4?x(m) t=时，y?0.05cos(15??4?x)??0.05cos4?x(m)
分别画出其波形图如下图所示：
2. 设有一平面简谐波 y?0.02cos2?(（1）求其振幅、波长、频率和波速。 （2）求x=处质点振动的初相位。
解：（1）由波动方程有A=，λ=，ν=100Hz，?0?0，且u????30m/s
（2）?0
3. 已知一沿x轴正向传播的平面余弦波在t=1/3s时的波形如图4所示，且周期T=2s。 （1）写出O点和P点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）求P点离O点的距离。
解：解：由波形曲线可得A=，λ=，且u?图4
tx?) (SI)。 0.010.3?2?(x?0.100.12? ?)??0.010.33?T?0.2m/s，??2???rad/s T（1）设波动表达式为y?Acos[?(t?)??0] 由图可知O点的振动相位为2?，即?Ot?(?t??0)t?1s?3xu?33??0?2? 3得O点的初相?0??3
所以O点的振动表达式为yO?0.1cos(?t??3)(m) xu?同样P点的振动相位为?Pt?[?(t?)??0]?31t?s3??xP0.2??3???2，得
7xP?（m）?0.23m
30所以P点的振动表达式为yP?0.1cos(?t?（2）波动表达式为y?0.1cos[?(t?5x)?（3）P点离O点的距离为xP?
5?)(m) 6?3](m)
7（m）?0.23m 30
三. 计算题
1. 一平面简谐声波的频率为500Hz，在空气中以速度u=340m/s传播。到达人耳时，振幅A=10cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强（空气的密度ρ=m）。 解：人耳接收到声波的平均能量密度为w?-4
3
1?A2?2?6.37?10?6J/m3 2?32人耳接收到声波的声强为I?wu?2.16?10W/m
2. 一波源以35000W的功率向空间均匀发射球面电磁波，在某处测得波的平均能量密度为×10J/m，求该处离波源的距离。电磁波的传播速度为×10m/s。 解：设该处距波源r，单位时间内通过整个球面的能量为P?SA?S4?r 则r?2-15
3
8
P(4?S)?P(4?wu)?3.45?104m
3. 一列沿x轴正向传播的简谐波，已知t1=0和t2=时的波形如图1所示。试求： （l）P的振动表达式； （2）此波的波动表达式； （3）画出O点的振动曲线。
解：由图1中的波形曲线可知A=，
T?1s， ??0.6m，T?1s，??u????0.6m/s
1?1Hz， T图1
（1） 由P点的振动状态知?P0??的振动表达式为yP?0.2cos(2?t?（2）由O点的振动状态知?O0??2，故P点
?2)(m)
?2，故O点的振动表达式为yO?0.2cos(2?t??2)(m)
所以波动表达式为y?0.2cos[2?(t?（3）O点的振动曲线如下图所示
x?10?)?]?0.2cos(2?t??x?)(m) 0.6232
图1
三．计算题
1．同一介质中的两个波源位于A、B两点，其振幅相等，频率都是100Hz，相位差为π，若A、B两点相距为30m，波在介质中的传播速度为400m/s，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。
1．解：建立如下图所示的坐标轴，根据题意，设
?A?0，?B??，且??u??4m
在A、B间任选一点C，两波在C点引起的振动分别为
xxyAC?Acos[?(t?)??A]?Acos?(t?)
uu(x?L)yBC?Acos[?(t?)??]
u两振动使C点静止的相位差应为??C??BC??AC?(2k?1)? 即 [?(t?(x?L)x2?)??]??(t?)?(2x?L)???(2k?1)? uu?解得 x?2k?15,k?0,?1,?2,L,?7
即AB连线间因干涉而静止的点距A点为（1,3,5,…,29）m，共有15个。
在A、B两点外侧连线上的其他任意点，比如D点和E点，A、B两相干波的传播方向相同，并且在这些点处均为同相叠加，是干涉加强区域，所以在A、B两点外侧的连线上没有静止点。
2．两个波在一很长的弦线上传播，设其波动表达式为
y1?0.06cosy2?0.06cos?2(0.02x?0.8t) (0.02x?0.8t)
?2用SI单位，求：（1）合成波的表达式；（2）波节和波腹的位置。
解：（1）ω=πrad/s，U=40m/s,λ=200m，将两波改写成如下形式
2?2?x)，y2?0.06cos(0.4?t?x) 2002002?则合成波为y?y1?y2?(2Acosx)cos?t?0.12cos0.01?xcos0.4?t y1?0.06cos(0.4?t??这是个驻波。
（2）波节有cos0.01?x?0
0.01?x?(2k?1)故波节位置为 x?50(2k?1)m,波腹有 cos0.01?x?1
?2
k?0,?1,?2,L
0.01?x?k?
故波腹位置为x?100km,k?0,?1,?2,L
3．（1）火车以90km/h的速度行驶，其汽笛的频率为500Hz。一个人站在铁轨旁，当火车从他身旁驶过时，他听到的汽笛声的频率变化是多大设声速为340m/s。
（2）若此人坐在汽车里，而汽车在铁轨旁的公路上以54km/h的速率迎着火车行驶。试问此人听到汽笛声的频率为多大
解：设声波在空气中传播的速率为u，波源（汽笛）的频率为?，波源（火车）运动的速
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