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当4x0+1=3 即 x0??2
2255,) 时，(y0)min?此时M(?2244yMAA1A20M1M2B1B2xB法二：如图，2MM2?AA2?BB2?AF?BF?AB?3 ∴MM2?313， 即MM1??， 2425∴MM1?， 当AB经过焦点F时取得最小值。 4∴M到x轴的最短距离为5 4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
x2y2??1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线例6、已知椭圆mm?1从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=AB?CD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 f(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD?XC) ?2(xB?xC)?(xA?xD) 2(xB?XC) A。 5欢迎下载 yCD ?BF10F2x精品文档
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
x2y2??1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 解：（1）椭圆mm?1则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x+my-m(m-1)=0 得(m-1)x+m(x+1)-m+m=0 ∴(2m-1)x+2mx+2m-m=0
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设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-2m(2?m?5) 2m?1f(m)?AB?CD?2(xB?xA)?(xD?xC)2m ?2(x1?x2)?(xA?xC)?2x1?x2?2?2m?1（2）f(m)?22m?1?11?2(1?) 2m?12m?1102 9∴当m=5时，f(m)min? 当m=2时，f(m)max?42 3点评：此题因最终需求xB?xC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点
为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得x0y?0?k?0，将y0=x0+1，k=1代入得mm?1x0x0?1m2m??0，∴x0??，可见xB?xC?? mm?12m?12m?1当然，解本题的关键在于对f(m)?AB?CD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f(m)?xB?xC是解此题的要点。
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x2y2??1的斜率为1的弦，求a的取值范围. 例3：直线l：ax+y+2=0平分双曲线169分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x0,y0)
?x12y12??1?① ?169则： ? 22 ?x2?y2?1② ??169xyx21?x22y21?y22??0,即0?0?1?0 ①-②得169169即M(X0,y0)在直线9x-16y=0上。 由 9x-16y=0 得C?????167,?9??169??,??,D??? 7??77?x2y2??1 169∴点M的轨迹方程为9x-16y=0(x<-167167或x>) 77?2?kPD=977?9?27,kPD?16?2?0?977?9?27 160?1616?9?279??99?27????由图知，当动直线l的斜率k∈??16,16???16,16?时，l过斜率为1的弦AB
????的中点M，而k=-a ∴a的取值范围为：???9?279??927?9?? ,?????,???1616??1616???点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D）的属性（斜率）说明所求变量a的取值范围。
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x22例6、求直线3x-4y+10=0与椭圆2?y?1(a>0)有公共点时a的取值范围
a 分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0可求得a的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P（用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c何时有解。
解法一：由直线方程3x-4y+10=0得y?35135x?代入椭圆方程得2x2?(x?)2?1∴4242a(1921521?)x?x??0 21644a△≥0，得(27152211928，又a>0,∴a? )?4??(2?)?0解得a2?344a163 解法二：设有公共点为P，因公共点P在椭圆上，利用椭圆方程设P（acos?，sin?）再代入直线方程得3acos?-4sin?+10=0
4sin?-3acos?=10。 49a?162sin??3a9a?162cos??109a?162 令sinα=3a9a?162，cosα=49a?162，
则sin(?-α)= 109a?162
2，
由sin(???)?1 即sin(?-α)≤1得1002822
∴9a≥84，a≥(a>0) ?139a2?16221∴a≥3 点评：解法1，2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技
22yx巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线l：Ax+By+C=0与椭圆?2?1有公共点,2ab求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点P，利用椭圆，设P（acos?，bsin?）代入直线方程得Aacos?+Bbsin?=-C。
∴?C?1时上式有解。 ∴C2≤A2a2+B2b2 2222Aa?Bb因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。
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