数值分析第四版答案解析

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第一章 绪论

1．设x?0,x的相对误差为?，求lnx的误差。

e*x*?x ?x*x*1而lnx的误差为e?lnx*??lnx*?lnx?e*

x*解：近似值x的相对误差为?=er?**进而有?(lnx*)??

2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。

n解：设f(x)?x，则函数的条件数为Cp?|nxf'(x)| f(x)又又

f'(x)?nxn?1x?nxn?1|?n , ?Cp?|n?r((x*)n)?Cp??r(x*)

且er(x*)为2

??r((x*)n)?0.02n

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

*****出它们是几位有效数字：x1?1.1021,x2?0.031, x3?385.6, x4?56.430,x5?7?1.0. *解：x1?1.1021是五位有效数字； *x2?0.031是二位有效数字； *x3?385.6是四位有效数字； *x4?56.430是五位有效数字； *x5?7?1.0.是二位有效数字。

********4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1?x2?x4,(2) x1x2x3,(3) x2/x4.

其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数。 解：

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121*?(x2)??10?321*?(x3)??10?1

21*?(x4)??10?321*?(x5)??10?12?(x1*)??10?4***(1)?(x1?x2?x4)***??(x1)??(x2)??(x4) 111?4?3?3??10??10??10222?1.05?10?3***(2)?(x1x2x3)*********?x1x2?(x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)111?1.1021?0.031??10?1?0.031?385.6??10?4?1.1021?385.6??10?3222?0.215**(3)?(x2/x4)

?****x2?(x4)?x4?(x2)x*24110.031??10?3?56.430??10?322?56.430?56.430?10?5

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V?43?R 3则何种函数的条件数为

RV'R4?R2Cp???3

43V?R3??r(V*)?Cp?r(R*)?3?r(R*)

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又

?r(V*)?1

1?1?0.33 3故度量半径R时允许的相对误差限为?r(R*)?6．设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?1783 （n=1,2,…） 100计算到Y100。若取783?27.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？ 解：Yn?Yn?1?1783 100?Y100?Y99?1783 1001Y99?Y98?783 1001Y98?Y97?783 100……

Y1?Y0?1783 1001783 100依次代入后，有Y100?Y0?100?即Y100?Y0?783，

若取783?27.982, ?Y100?Y0?27.982

1*??(Y100)??(Y0)??(27.982)??10?3

21?Y100的误差限为?10?3。

227．求方程x?56x?1?0的两个根，使它至少具有4位有效数字（783?27.982）。

解：x?56x?1?0，

故方程的根应为x1,2?28?783 故 x1?28?783?28?27.982?55.982

2?x1具有5位有效数字

x2?28?783?128?783?11??0.017863

28?27.98255.982x2具有5位有效数字