(6)不对．当a＋b＞0时成立．
例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． 再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．
于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c． 例3 已知x＜-3，化简：3?2?1?x
分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0) =｜-x｜=-x．
解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． (1)当a，b，c均大于零时，原式=3； (2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；
(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； (4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．
说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用． 例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
(1)当y=2时，x+y=-1； (2)当y=-2时，x+y=-5． 所以x+y的值为-1或-5．
例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜+｜c-a｜=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜，｜c-a｜为两个非负整数，和为1，所以只能是
｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ① 或 ｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
所以 ｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．
19
99
19
99
解 依相反数的意义有
｜x-y+3｜＝｜x+y-1999｜．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得 2y=2002， y=1001，
所以
例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们
为三个部分(如图1－2所示)，即
这样我们就可以分类讨论化简了．
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
即
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”． 例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者． 解 有三个分界点：-3，1，-1．
(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6． (3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3， 由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6． (4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0． 综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
例10 设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：
所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)． 例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有 ｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1． 故x应满足的条件是
此时 原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4 =7．
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